Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68727 / 72695
↖ ↑ ↗
← S 19.287813°
E  8.764343°		 ← 288.22 m → S 19.287813°
E  8.767090°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
S 19.290405°
E  8.764343°		 ← 288.22 m →
83 072 m²		 S 19.290405°
E  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524349212646484 y=0.554622650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524349212646484 × 217)
    floor (0.524349212646484 × 131072)
    floor (68727.5)     		tx = 68727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554622650146484 × 217)
    floor (0.554622650146484 × 131072)
    floor (72695.5)     		ty = 72695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68727 / 72695 ti = "17/68727/72695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68727/72695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68727 ÷ 217
    68727 ÷ 131072     		x = 0.524345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72695 ÷ 217
    72695 ÷ 131072     		y = 0.554618835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524345397949219 × 2 - 1) × π
    0.0486907958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15296665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554618835449219 × 2 - 1) × π
    -0.109237670898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.343180264379982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15296665} λ = 0.15296665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343180264379982))-π/2
    2×atan(0.709510300597232)-π/2
    2×0.617080240125912-π/2
    1.23416048025182-1.57079632675     		φ = -0.33663585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15296665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.764343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33663585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.287813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68727 KachelY 72695 0.15296665 -0.33663585 8.764343 -19.287813
    Oben rechts KachelX + 1 68728 KachelY 72695 0.15301458 -0.33663585 8.767090 -19.287813
    Unten links KachelX 68727 KachelY + 1 72696 0.15296665 -0.33668109 8.764343 -19.290405
    Unten rechts KachelX + 1 68728 KachelY + 1 72696 0.15301458 -0.33668109 8.767090 -19.290405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33663585--0.33668109) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33663585--0.33668109) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15296665-0.15301458) × cos(-0.33663585) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943871229202793 × 6371000     		do = 288.22243460797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15296665-0.15301458) × cos(-0.33668109) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943856284847703 × 6371000     		du = 288.217871169362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33663585)-sin(-0.33668109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943871229202793-0.943856284847703)×R²
    abs(0.15301458-0.15296665)×1.49443550900852e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49443550900852e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49443550900852e-05×40589641000000     		ar = 83071.9768891594m²