Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68727 / 43890
↖ ↑ ↗
← N 50.982641°
E  8.764343°		 ← 192.24 m → N 50.982641°
E  8.767090°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
N 50.980911°
E  8.764343°		 ← 192.25 m →
36 964 m²		 N 50.980911°
E  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524349212646484 y=0.334857940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524349212646484 × 217)
    floor (0.524349212646484 × 131072)
    floor (68727.5)     		tx = 68727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334857940673828 × 217)
    floor (0.334857940673828 × 131072)
    floor (43890.5)     		ty = 43890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68727 / 43890 ti = "17/68727/43890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68727/43890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68727 ÷ 217
    68727 ÷ 131072     		x = 0.524345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43890 ÷ 217
    43890 ÷ 131072     		y = 0.334854125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524345397949219 × 2 - 1) × π
    0.0486907958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15296665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334854125976562 × 2 - 1) × π
    0.330291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03764212917574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15296665} λ = 0.15296665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03764212917574))-π/2
    2×atan(2.82255394451387)-π/2
    2×1.2303056351257-π/2
    2.46061127025141-1.57079632675     		φ = 0.88981494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15296665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.764343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88981494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.982641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68727 KachelY 43890 0.15296665 0.88981494 8.764343 50.982641
    Oben rechts KachelX + 1 68728 KachelY 43890 0.15301458 0.88981494 8.767090 50.982641
    Unten links KachelX 68727 KachelY + 1 43891 0.15296665 0.88978476 8.764343 50.980911
    Unten rechts KachelX + 1 68728 KachelY + 1 43891 0.15301458 0.88978476 8.767090 50.980911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88981494-0.88978476) × R
    3.01800000001018e-05 × 6371000     		dl = 192.276780000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88981494-0.88978476) × R
    3.01800000001018e-05 × 6371000     		dr = 192.276780000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15296665-0.15301458) × cos(0.88981494) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.629555820692672 × 6371000     		do = 192.242443405037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15296665-0.15301458) × cos(0.88978476) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.629579268915562 × 6371000     		du = 192.249603601978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88981494)-sin(0.88978476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629555820692672-0.629579268915562)×R²
    abs(0.15301458-0.15296665)×2.34482228894661e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34482228894661e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34482228894661e-05×40589641000000     		ar = 36964.4463701411m²