Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68726 / 72696
↖ ↑ ↗
← S 19.290405°
E  8.761597°		 ← 288.28 m → S 19.290405°
E  8.764343°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.292998°
E  8.761597°		 ← 288.27 m →
83 106 m²		 S 19.292998°
E  8.764343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524341583251953 y=0.554630279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524341583251953 × 217)
    floor (0.524341583251953 × 131072)
    floor (68726.5)     		tx = 68726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554630279541016 × 217)
    floor (0.554630279541016 × 131072)
    floor (72696.5)     		ty = 72696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68726 / 72696 ti = "17/68726/72696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68726/72696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68726 ÷ 217
    68726 ÷ 131072     		x = 0.524337768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72696 ÷ 217
    72696 ÷ 131072     		y = 0.55462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524337768554688 × 2 - 1) × π
    0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15291871} λ = 0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343228201279602))-π/2
    2×atan(0.709476289688368)-π/2
    2×0.617057617174817-π/2
    1.23411523434963-1.57079632675     		φ = -0.33668109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33668109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.290405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68726 KachelY 72696 0.15291871 -0.33668109 8.761597 -19.290405
    Oben rechts KachelX + 1 68727 KachelY 72696 0.15296665 -0.33668109 8.764343 -19.290405
    Unten links KachelX 68726 KachelY + 1 72697 0.15291871 -0.33672634 8.761597 -19.292998
    Unten rechts KachelX + 1 68727 KachelY + 1 72697 0.15296665 -0.33672634 8.764343 -19.292998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33668109--0.33672634) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33668109--0.33672634) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15291871-0.15296665) × cos(-0.33668109) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943856284847703 × 6371000     		do = 288.278004253238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15291871-0.15296665) × cos(-0.33672634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943841335256872 × 6371000     		du = 288.273438263396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33668109)-sin(-0.33672634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943856284847703-0.943841335256872)×R²
    abs(0.15296665-0.15291871)×1.49495908312591e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49495908312591e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49495908312591e-05×40589641000000     		ar = 83106.3590753974m²