Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68726 / 43550
↖ ↑ ↗
← N 51.566827°
E  8.761597°		 ← 189.85 m → N 51.566827°
E  8.764343°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 51.565120°
E  8.761597°		 ← 189.86 m →
36 045 m²		 N 51.565120°
E  8.764343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524341583251953 y=0.332263946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524341583251953 × 217)
    floor (0.524341583251953 × 131072)
    floor (68726.5)     		tx = 68726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332263946533203 × 217)
    floor (0.332263946533203 × 131072)
    floor (43550.5)     		ty = 43550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68726 / 43550 ti = "17/68726/43550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68726/43550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68726 ÷ 217
    68726 ÷ 131072     		x = 0.524337768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43550 ÷ 217
    43550 ÷ 131072     		y = 0.332260131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524337768554688 × 2 - 1) × π
    0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332260131835938 × 2 - 1) × π
    0.335479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05394067504655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15291871} λ = 0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05394067504655))-π/2
    2×atan(2.86893440980754)-π/2
    2×1.23540362150117-π/2
    2.47080724300235-1.57079632675     		φ = 0.90001092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90001092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.566827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68726 KachelY 43550 0.15291871 0.90001092 8.761597 51.566827
    Oben rechts KachelX + 1 68727 KachelY 43550 0.15296665 0.90001092 8.764343 51.566827
    Unten links KachelX 68726 KachelY + 1 43551 0.15291871 0.89998112 8.761597 51.565120
    Unten rechts KachelX + 1 68727 KachelY + 1 43551 0.15296665 0.89998112 8.764343 51.565120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90001092-0.89998112) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dl = 189.855800000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90001092-0.89998112) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dr = 189.855800000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15291871-0.15296665) × cos(0.90001092) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621601414303749 × 6371000     		do = 189.853071948755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15291871-0.15296665) × cos(0.89998112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62162475737193 × 6371000     		du = 189.860201522627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90001092)-sin(0.89998112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621601414303749-0.62162475737193)×R²
    abs(0.15296665-0.15291871)×2.33430681805258e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33430681805258e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33430681805258e-05×40589641000000     		ar = 36045.3836555345m²