Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68725 / 72693
↖ ↑ ↗
← S 19.282628°
E  8.758850°		 ← 288.29 m → S 19.282628°
E  8.761597°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.285221°
E  8.758850°		 ← 288.29 m →
83 110 m²		 S 19.285221°
E  8.761597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524333953857422 y=0.554607391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524333953857422 × 217)
    floor (0.524333953857422 × 131072)
    floor (68725.5)     		tx = 68725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554607391357422 × 217)
    floor (0.554607391357422 × 131072)
    floor (72693.5)     		ty = 72693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68725 / 72693 ti = "17/68725/72693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68725/72693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68725 ÷ 217
    68725 ÷ 131072     		x = 0.524330139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72693 ÷ 217
    72693 ÷ 131072     		y = 0.554603576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524330139160156 × 2 - 1) × π
    0.0486602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15287077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554603576660156 × 2 - 1) × π
    -0.109207153320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.343084390580742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15287077} λ = 0.15287077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343084390580742))-π/2
    2×atan(0.709578327306287)-π/2
    2×0.61712548710272-π/2
    1.23425097420544-1.57079632675     		φ = -0.33654535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15287077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.758850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33654535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.282628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68725 KachelY 72693 0.15287077 -0.33654535 8.758850 -19.282628
    Oben rechts KachelX + 1 68726 KachelY 72693 0.15291871 -0.33654535 8.761597 -19.282628
    Unten links KachelX 68725 KachelY + 1 72694 0.15287077 -0.33659060 8.758850 -19.285221
    Unten rechts KachelX + 1 68726 KachelY + 1 72694 0.15291871 -0.33659060 8.761597 -19.285221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33654535--0.33659060) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33654535--0.33659060) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15287077-0.15291871) × cos(-0.33654535) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.943901118722164 × 6371000     		do = 288.291697672689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15287077-0.15291871) × cos(-0.33659060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.943886174928811 × 6371000     		du = 288.287133453546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33654535)-sin(-0.33659060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943901118722164-0.943886174928811)×R²
    abs(0.15291871-0.15287077)×1.49437933523178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49437933523178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49437933523178e-05×40589641000000     		ar = 83110.3069756742m²