Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68725 / 43977
↖ ↑ ↗
← N 50.831963°
E  8.758850°		 ← 192.91 m → N 50.831963°
E  8.761597°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.830228°
E  8.758850°		 ← 192.91 m →
37 215 m²		 N 50.830228°
E  8.761597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524333953857422 y=0.335521697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524333953857422 × 217)
    floor (0.524333953857422 × 131072)
    floor (68725.5)     		tx = 68725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335521697998047 × 217)
    floor (0.335521697998047 × 131072)
    floor (43977.5)     		ty = 43977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68725 / 43977 ti = "17/68725/43977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68725/43977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68725 ÷ 217
    68725 ÷ 131072     		x = 0.524330139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43977 ÷ 217
    43977 ÷ 131072     		y = 0.335517883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524330139160156 × 2 - 1) × π
    0.0486602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15287077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335517883300781 × 2 - 1) × π
    0.328964233398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03347161890879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15287077} λ = 0.15287077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03347161890879))-π/2
    2×atan(2.8108069667813)-π/2
    2×1.22899072293196-π/2
    2.45798144586391-1.57079632675     		φ = 0.88718512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15287077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.758850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88718512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.831963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68725 KachelY 43977 0.15287077 0.88718512 8.758850 50.831963
    Oben rechts KachelX + 1 68726 KachelY 43977 0.15291871 0.88718512 8.761597 50.831963
    Unten links KachelX 68725 KachelY + 1 43978 0.15287077 0.88715484 8.758850 50.830228
    Unten rechts KachelX + 1 68726 KachelY + 1 43978 0.15291871 0.88715484 8.761597 50.830228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88718512-0.88715484) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88718512-0.88715484) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15287077-0.15291871) × cos(0.88718512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631596893818761 × 6371000     		do = 192.905948676394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15287077-0.15291871) × cos(0.88715484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631620369520914 × 6371000     		du = 192.913118760096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88718512)-sin(0.88715484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631596893818761-0.631620369520914)×R²
    abs(0.15291871-0.15287077)×2.34757021531085e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34757021531085e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34757021531085e-05×40589641000000     		ar = 37214.9266416135m²