Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68724 / 72655
↖ ↑ ↗
← S 19.184083°
E  8.756104°		 ← 288.40 m → S 19.184083°
E  8.758850°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 19.186678°
E  8.756104°		 ← 288.40 m →
83 198 m²		 S 19.186678°
E  8.758850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524326324462891 y=0.554317474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524326324462891 × 217)
    floor (0.524326324462891 × 131072)
    floor (68724.5)     		tx = 68724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554317474365234 × 217)
    floor (0.554317474365234 × 131072)
    floor (72655.5)     		ty = 72655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68724 / 72655 ti = "17/68724/72655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68724/72655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68724 ÷ 217
    68724 ÷ 131072     		x = 0.524322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72655 ÷ 217
    72655 ÷ 131072     		y = 0.554313659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554313659667969 × 2 - 1) × π
    -0.108627319335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.34126278839518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15282284} λ = 0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34126278839518))-π/2
    2×atan(0.710872074726954)-π/2
    2×0.617985451476025-π/2
    1.23597090295205-1.57079632675     		φ = -0.33482542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33482542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.184083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68724 KachelY 72655 0.15282284 -0.33482542 8.756104 -19.184083
    Oben rechts KachelX + 1 68725 KachelY 72655 0.15287077 -0.33482542 8.758850 -19.184083
    Unten links KachelX 68724 KachelY + 1 72656 0.15282284 -0.33487070 8.756104 -19.186678
    Unten rechts KachelX + 1 68725 KachelY + 1 72656 0.15287077 -0.33487070 8.758850 -19.186678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33482542--0.33487070) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dl = 288.478880000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33482542--0.33487070) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dr = 288.478880000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15282284-0.15287077) × cos(-0.33482542) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944467691762076 × 6371000     		do = 288.404571625891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15282284-0.15287077) × cos(-0.33487070) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944452811591632 × 6371000     		du = 288.400027786838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33482542)-sin(-0.33487070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944467691762076-0.944452811591632)×R²
    abs(0.15287077-0.15282284)×1.48801704440427e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.48801704440427e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.48801704440427e-05×40589641000000     		ar = 83197.9724229412m²