Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68724 / 43604
↖ ↑ ↗
← N 51.474540°
E  8.756104°		 ← 190.20 m → N 51.474540°
E  8.758850°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
N 51.472829°
E  8.756104°		 ← 190.21 m →
36 184 m²		 N 51.472829°
E  8.758850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524326324462891 y=0.332675933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524326324462891 × 217)
    floor (0.524326324462891 × 131072)
    floor (68724.5)     		tx = 68724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332675933837891 × 217)
    floor (0.332675933837891 × 131072)
    floor (43604.5)     		ty = 43604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68724 / 43604 ti = "17/68724/43604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68724/43604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68724 ÷ 217
    68724 ÷ 131072     		x = 0.524322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43604 ÷ 217
    43604 ÷ 131072     		y = 0.332672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332672119140625 × 2 - 1) × π
    0.33465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05135208246707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15282284} λ = 0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05135208246707))-π/2
    2×atan(2.86151751128913)-π/2
    2×1.23459826919751-π/2
    2.46919653839502-1.57079632675     		φ = 0.89840021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89840021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.474540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68724 KachelY 43604 0.15282284 0.89840021 8.756104 51.474540
    Oben rechts KachelX + 1 68725 KachelY 43604 0.15287077 0.89840021 8.758850 51.474540
    Unten links KachelX 68724 KachelY + 1 43605 0.15282284 0.89837035 8.756104 51.472829
    Unten rechts KachelX + 1 68725 KachelY + 1 43605 0.15287077 0.89837035 8.758850 51.472829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89840021-0.89837035) × R
    2.98600000000482e-05 × 6371000     		dl = 190.238060000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89840021-0.89837035) × R
    2.98600000000482e-05 × 6371000     		dr = 190.238060000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15282284-0.15287077) × cos(0.89840021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.622862330841134 × 6371000     		do = 190.198505756187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15282284-0.15287077) × cos(0.89837035) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.622885690980915 × 6371000     		du = 190.205639055891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89840021)-sin(0.89837035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622862330841134-0.622885690980915)×R²
    abs(0.15287077-0.15282284)×2.33601397811034e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33601397811034e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33601397811034e-05×40589641000000     		ar = 36183.6732652049m²