Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68723 / 72649
↖ ↑ ↗
← S 19.168518°
E  8.753357°		 ← 288.49 m → S 19.168518°
E  8.756104°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 19.171113°
E  8.753357°		 ← 288.49 m →
83 223 m²		 S 19.171113°
E  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524318695068359 y=0.554271697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524318695068359 × 217)
    floor (0.524318695068359 × 131072)
    floor (68723.5)     		tx = 68723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554271697998047 × 217)
    floor (0.554271697998047 × 131072)
    floor (72649.5)     		ty = 72649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68723 / 72649 ti = "17/68723/72649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68723/72649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68723 ÷ 217
    68723 ÷ 131072     		x = 0.524314880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72649 ÷ 217
    72649 ÷ 131072     		y = 0.554267883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524314880371094 × 2 - 1) × π
    0.0486297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15277490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554267883300781 × 2 - 1) × π
    -0.108535766601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.340975166997459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15277490} λ = 0.15277490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340975166997459))-π/2
    2×atan(0.711076566153333)-π/2
    2×0.618121282451813-π/2
    1.23624256490363-1.57079632675     		φ = -0.33455376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15277490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.753357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33455376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.168518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68723 KachelY 72649 0.15277490 -0.33455376 8.753357 -19.168518
    Oben rechts KachelX + 1 68724 KachelY 72649 0.15282284 -0.33455376 8.756104 -19.168518
    Unten links KachelX 68723 KachelY + 1 72650 0.15277490 -0.33459904 8.753357 -19.171113
    Unten rechts KachelX + 1 68724 KachelY + 1 72650 0.15282284 -0.33459904 8.756104 -19.171113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33455376--0.33459904) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dl = 288.478880000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33455376--0.33459904) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dr = 288.478880000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15277490-0.15282284) × cos(-0.33455376) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944556925551863 × 6371000     		do = 288.49199795878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15277490-0.15282284) × cos(-0.33459904) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944542056999551 × 6371000     		du = 288.487456720188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33455376)-sin(-0.33459904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944556925551863-0.944542056999551)×R²
    abs(0.15282284-0.15277490)×1.48685523115866e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48685523115866e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48685523115866e-05×40589641000000     		ar = 83223.1934486599m²