Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68723 / 44659
↖ ↑ ↗
← N 49.633841°
E  8.753357°		 ← 197.82 m → N 49.633841°
E  8.756104°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
N 49.632062°
E  8.753357°		 ← 197.82 m →
39 120 m²		 N 49.632062°
E  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524318695068359 y=0.340724945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524318695068359 × 217)
    floor (0.524318695068359 × 131072)
    floor (68723.5)     		tx = 68723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340724945068359 × 217)
    floor (0.340724945068359 × 131072)
    floor (44659.5)     		ty = 44659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68723 / 44659 ti = "17/68723/44659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68723/44659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68723 ÷ 217
    68723 ÷ 131072     		x = 0.524314880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44659 ÷ 217
    44659 ÷ 131072     		y = 0.340721130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524314880371094 × 2 - 1) × π
    0.0486297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15277490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340721130371094 × 2 - 1) × π
    0.318557739257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.00077865336791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15277490} λ = 0.15277490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00077865336791))-π/2
    2×atan(2.72039925202222)-π/2
    2×1.21853513503212-π/2
    2.43707027006424-1.57079632675     		φ = 0.86627394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15277490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.753357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86627394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.633841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68723 KachelY 44659 0.15277490 0.86627394 8.753357 49.633841
    Oben rechts KachelX + 1 68724 KachelY 44659 0.15282284 0.86627394 8.756104 49.633841
    Unten links KachelX 68723 KachelY + 1 44660 0.15277490 0.86624290 8.753357 49.632062
    Unten rechts KachelX + 1 68724 KachelY + 1 44660 0.15282284 0.86624290 8.756104 49.632062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86627394-0.86624290) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86627394-0.86624290) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15277490-0.15282284) × cos(0.86627394) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647669999902242 × 6371000     		do = 197.815088995927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15277490-0.15282284) × cos(0.86624290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647693649617274 × 6371000     		du = 197.822312227642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86627394)-sin(0.86624290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647669999902242-0.647693649617274)×R²
    abs(0.15282284-0.15277490)×2.36497150324366e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36497150324366e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36497150324366e-05×40589641000000     		ar = 39119.8033102557m²