Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68721 / 44648
↖ ↑ ↗
← N 49.653404°
E  8.747864°		 ← 197.69 m → N 49.653404°
E  8.750610°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.651626°
E  8.747864°		 ← 197.70 m →
39 083 m²		 N 49.651626°
E  8.750610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524303436279297 y=0.340641021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524303436279297 × 217)
    floor (0.524303436279297 × 131072)
    floor (68721.5)     		tx = 68721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340641021728516 × 217)
    floor (0.340641021728516 × 131072)
    floor (44648.5)     		ty = 44648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68721 / 44648 ti = "17/68721/44648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68721/44648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68721 ÷ 217
    68721 ÷ 131072     		x = 0.524299621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44648 ÷ 217
    44648 ÷ 131072     		y = 0.34063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524299621582031 × 2 - 1) × π
    0.0485992431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15267903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34063720703125 × 2 - 1) × π
    0.3187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00130595926373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15267903} λ = 0.15267903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00130595926373))-π/2
    2×atan(2.72183411285884)-π/2
    2×1.21870586083473-π/2
    2.43741172166947-1.57079632675     		φ = 0.86661539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15267903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.747864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86661539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.653404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68721 KachelY 44648 0.15267903 0.86661539 8.747864 49.653404
    Oben rechts KachelX + 1 68722 KachelY 44648 0.15272696 0.86661539 8.750610 49.653404
    Unten links KachelX 68721 KachelY + 1 44649 0.15267903 0.86658436 8.747864 49.651626
    Unten rechts KachelX + 1 68722 KachelY + 1 44649 0.15272696 0.86658436 8.750610 49.651626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86661539-0.86658436) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86661539-0.86658436) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15267903-0.15272696) × cos(0.86661539) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647409804235281 × 6371000     		do = 197.694372063195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15267903-0.15272696) × cos(0.86658436) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647433453192241 × 6371000     		du = 197.701593556699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86661539)-sin(0.86658436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647409804235281-0.647433453192241)×R²
    abs(0.15272696-0.15267903)×2.36489569594989e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36489569594989e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36489569594989e-05×40589641000000     		ar = 39083.3353212924m²