Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68720 / 43901
↖ ↑ ↗
← N 50.963617°
E  8.745117°		 ← 192.36 m → N 50.963617°
E  8.747864°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
N 50.961887°
E  8.745117°		 ← 192.37 m →
37 000 m²		 N 50.961887°
E  8.747864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524295806884766 y=0.334941864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524295806884766 × 217)
    floor (0.524295806884766 × 131072)
    floor (68720.5)     		tx = 68720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334941864013672 × 217)
    floor (0.334941864013672 × 131072)
    floor (43901.5)     		ty = 43901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68720 / 43901 ti = "17/68720/43901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68720/43901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68720 ÷ 217
    68720 ÷ 131072     		x = 0.5242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43901 ÷ 217
    43901 ÷ 131072     		y = 0.334938049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5242919921875 × 2 - 1) × π
    0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334938049316406 × 2 - 1) × π
    0.330123901367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03711482327991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15263109} λ = 0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03711482327991))-π/2
    2×atan(2.82106598751638)-π/2
    2×1.23013961687552-π/2
    2.46027923375104-1.57079632675     		φ = 0.88948291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88948291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.963617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68720 KachelY 43901 0.15263109 0.88948291 8.745117 50.963617
    Oben rechts KachelX + 1 68721 KachelY 43901 0.15267903 0.88948291 8.747864 50.963617
    Unten links KachelX 68720 KachelY + 1 43902 0.15263109 0.88945272 8.745117 50.961887
    Unten rechts KachelX + 1 68721 KachelY + 1 43902 0.15267903 0.88945272 8.747864 50.961887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88948291-0.88945272) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dl = 192.340490000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88948291-0.88945272) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dr = 192.340490000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15263109-0.15267903) × cos(0.88948291) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629813758438976 × 6371000     		do = 192.361333233391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15263109-0.15267903) × cos(0.88945272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629837208119159 × 6371000     		du = 192.368495369313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88948291)-sin(0.88945272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629813758438976-0.629837208119159)×R²
    abs(0.15267903-0.15263109)×2.34496801829742e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34496801829742e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34496801829742e-05×40589641000000     		ar = 36999.5618783971m²