Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6872 / 2369
↖ ↑ ↗
← N 77.762926°
W 29.003906°		 ← 517.87 m → N 77.762926°
W 28.981933°		 →
↑
517.96 m
↓
↑
517.96 m
↓
N 77.758268°
W 29.003906°		 ← 518.06 m →
268 288 m²		 N 77.758268°
W 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419464111328125 y=0.144622802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419464111328125 × 214)
    floor (0.419464111328125 × 16384)
    floor (6872.5)     		tx = 6872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144622802734375 × 214)
    floor (0.144622802734375 × 16384)
    floor (2369.5)     		ty = 2369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6872 / 2369 ti = "14/6872/2369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6872/2369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6872 ÷ 214
    6872 ÷ 16384     		x = 0.41943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2369 ÷ 214
    2369 ÷ 16384     		y = 0.14459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14459228515625 × 2 - 1) × π
    0.7108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2330925319007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50621366} λ = -0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2330925319007))-π/2
    2×atan(9.32867072869817)-π/2
    2×1.46400771066852-π/2
    2.92801542133703-1.57079632675     		φ = 1.35721909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35721909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.762926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6872 KachelY 2369 -0.50621366 1.35721909 -29.003906 77.762926
    Oben rechts KachelX + 1 6873 KachelY 2369 -0.50583016 1.35721909 -28.981933 77.762926
    Unten links KachelX 6872 KachelY + 1 2370 -0.50621366 1.35713779 -29.003906 77.758268
    Unten rechts KachelX + 1 6873 KachelY + 1 2370 -0.50583016 1.35713779 -28.981933 77.758268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35721909-1.35713779) × R
    8.13000000001729e-05 × 6371000     		dl = 517.962300001102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35721909-1.35713779) × R
    8.13000000001729e-05 × 6371000     		dr = 517.962300001102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50621366--0.50583016) × cos(1.35721909) × R
    0.000383499999999981 × 0.211957206769027 × 6371000     		do = 517.870486218793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50621366--0.50583016) × cos(1.35713779) × R
    0.000383499999999981 × 0.212036658846939 × 6371000     		du = 518.064609772534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35721909)-sin(1.35713779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211957206769027-0.212036658846939)×R²
    abs(-0.50583016--0.50621366)×7.94520779115737e-05×R²
    0.000383499999999981×7.94520779115737e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.94520779115737e-05×40589641000000     		ar = 268287.662633146m²