Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68718 / 72698
↖ ↑ ↗
← S 19.295590°
E  8.739624°		 ← 288.27 m → S 19.295590°
E  8.742371°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.298183°
E  8.739624°		 ← 288.26 m →
83 104 m²		 S 19.298183°
E  8.742371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524280548095703 y=0.554645538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524280548095703 × 217)
    floor (0.524280548095703 × 131072)
    floor (68718.5)     		tx = 68718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554645538330078 × 217)
    floor (0.554645538330078 × 131072)
    floor (72698.5)     		ty = 72698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68718 / 72698 ti = "17/68718/72698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68718/72698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68718 ÷ 217
    68718 ÷ 131072     		x = 0.524276733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72698 ÷ 217
    72698 ÷ 131072     		y = 0.554641723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524276733398438 × 2 - 1) × π
    0.048553466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15253521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554641723632812 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.343324075078842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15253521} λ = 0.15253521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343324075078842))-π/2
    2×atan(0.709408272761577)-π/2
    2×0.617012372347447-π/2
    1.23402474469489-1.57079632675     		φ = -0.33677158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15253521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.739624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33677158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.295590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68718 KachelY 72698 0.15253521 -0.33677158 8.739624 -19.295590
    Oben rechts KachelX + 1 68719 KachelY 72698 0.15258315 -0.33677158 8.742371 -19.295590
    Unten links KachelX 68718 KachelY + 1 72699 0.15253521 -0.33681683 8.739624 -19.298183
    Unten rechts KachelX + 1 68719 KachelY + 1 72699 0.15258315 -0.33681683 8.742371 -19.298183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33677158--0.33681683) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33677158--0.33681683) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15253521-0.15258315) × cos(-0.33677158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943826387037884 × 6371000     		do = 288.26887269255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15253521-0.15258315) × cos(-0.33681683) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943811433582362 × 6371000     		du = 288.264305522332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33677158)-sin(-0.33681683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943826387037884-0.943811433582362)×R²
    abs(0.15258315-0.15253521)×1.49534555217157e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49534555217157e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49534555217157e-05×40589641000000     		ar = 83103.7263881306m²