Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68716 / 72796
↖ ↑ ↗
← S 19.549437°
E  8.734131°		 ← 287.82 m → S 19.549437°
E  8.736878°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
S 19.552025°
E  8.734131°		 ← 287.81 m →
82 827 m²		 S 19.552025°
E  8.736878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524265289306641 y=0.555393218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524265289306641 × 217)
    floor (0.524265289306641 × 131072)
    floor (68716.5)     		tx = 68716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555393218994141 × 217)
    floor (0.555393218994141 × 131072)
    floor (72796.5)     		ty = 72796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68716 / 72796 ti = "17/68716/72796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68716/72796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68716 ÷ 217
    68716 ÷ 131072     		x = 0.524261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72796 ÷ 217
    72796 ÷ 131072     		y = 0.555389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524261474609375 × 2 - 1) × π
    0.04852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15243934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.348021891241608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15243934} λ = 0.15243934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348021891241608))-π/2
    2×atan(0.706083419002476)-π/2
    2×0.614797138036232-π/2
    1.22959427607246-1.57079632675     		φ = -0.34120205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15243934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34120205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.549437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68716 KachelY 72796 0.15243934 -0.34120205 8.734131 -19.549437
    Oben rechts KachelX + 1 68717 KachelY 72796 0.15248728 -0.34120205 8.736878 -19.549437
    Unten links KachelX 68716 KachelY + 1 72797 0.15243934 -0.34124722 8.734131 -19.552025
    Unten rechts KachelX + 1 68717 KachelY + 1 72797 0.15248728 -0.34124722 8.736878 -19.552025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34120205--0.34124722) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34120205--0.34124722) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15243934-0.15248728) × cos(-0.34120205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942353116361341 × 6371000     		do = 287.818897905947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15243934-0.15248728) × cos(-0.34124722) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942338000610563 × 6371000     		du = 287.814281166579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34120205)-sin(-0.34124722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942353116361341-0.942338000610563)×R²
    abs(0.15248728-0.15243934)×1.51157507783939e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.51157507783939e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.51157507783939e-05×40589641000000     		ar = 82827.3026648352m²