Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68716 / 72692
↖ ↑ ↗
← S 19.280036°
E  8.734131°		 ← 288.30 m → S 19.280036°
E  8.736878°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.282628°
E  8.734131°		 ← 288.29 m →
83 112 m²		 S 19.282628°
E  8.736878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524265289306641 y=0.554599761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524265289306641 × 217)
    floor (0.524265289306641 × 131072)
    floor (68716.5)     		tx = 68716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554599761962891 × 217)
    floor (0.554599761962891 × 131072)
    floor (72692.5)     		ty = 72692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68716 / 72692 ti = "17/68716/72692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68716/72692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68716 ÷ 217
    68716 ÷ 131072     		x = 0.524261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72692 ÷ 217
    72692 ÷ 131072     		y = 0.554595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524261474609375 × 2 - 1) × π
    0.04852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15243934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.343036453681122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15243934} λ = 0.15243934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343036453681122))-π/2
    2×atan(0.709612343106636)-π/2
    2×0.617148111128351-π/2
    1.2342962222567-1.57079632675     		φ = -0.33650010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15243934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33650010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.280036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68716 KachelY 72692 0.15243934 -0.33650010 8.734131 -19.280036
    Oben rechts KachelX + 1 68717 KachelY 72692 0.15248728 -0.33650010 8.736878 -19.280036
    Unten links KachelX 68716 KachelY + 1 72693 0.15243934 -0.33654535 8.734131 -19.282628
    Unten rechts KachelX + 1 68717 KachelY + 1 72693 0.15248728 -0.33654535 8.736878 -19.282628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33650010--0.33654535) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33650010--0.33654535) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15243934-0.15248728) × cos(-0.33650010) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943916060582819 × 6371000     		do = 288.29626130137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15243934-0.15248728) × cos(-0.33654535) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943901118722164 × 6371000     		du = 288.291697672523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33650010)-sin(-0.33654535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943916060582819-0.943901118722164)×R²
    abs(0.15248728-0.15243934)×1.49418606557594e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49418606557594e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49418606557594e-05×40589641000000     		ar = 83111.6226990779m²