Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68714 / 72681
↖ ↑ ↗
← S 19.251515°
E  8.728638°		 ← 288.29 m → S 19.251515°
E  8.731384°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.254108°
E  8.728638°		 ← 288.28 m →
83 109 m²		 S 19.254108°
E  8.731384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524250030517578 y=0.554515838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524250030517578 × 217)
    floor (0.524250030517578 × 131072)
    floor (68714.5)     		tx = 68714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554515838623047 × 217)
    floor (0.554515838623047 × 131072)
    floor (72681.5)     		ty = 72681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68714 / 72681 ti = "17/68714/72681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68714/72681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68714 ÷ 217
    68714 ÷ 131072     		x = 0.524246215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72681 ÷ 217
    72681 ÷ 131072     		y = 0.554512023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524246215820312 × 2 - 1) × π
    0.048492431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15234347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554512023925781 × 2 - 1) × π
    -0.109024047851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.342509147785301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15234347} λ = 0.15234347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342509147785301))-π/2
    2×atan(0.709986624550636)-π/2
    2×0.617396999035787-π/2
    1.23479399807157-1.57079632675     		φ = -0.33600233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15234347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.728638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33600233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.251515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68714 KachelY 72681 0.15234347 -0.33600233 8.728638 -19.251515
    Oben rechts KachelX + 1 68715 KachelY 72681 0.15239140 -0.33600233 8.731384 -19.251515
    Unten links KachelX 68714 KachelY + 1 72682 0.15234347 -0.33604758 8.728638 -19.254108
    Unten rechts KachelX + 1 68715 KachelY + 1 72682 0.15239140 -0.33604758 8.731384 -19.254108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33600233--0.33604758) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33600233--0.33604758) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15234347-0.15239140) × cos(-0.33600233) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944080300077627 × 6371000     		do = 288.286276914723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15234347-0.15239140) × cos(-0.33604758) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944065379479506 × 6371000     		du = 288.281720730592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33600233)-sin(-0.33604758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944080300077627-0.944065379479506)×R²
    abs(0.15239140-0.15234347)×1.49205981212486e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49205981212486e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49205981212486e-05×40589641000000     		ar = 83108.7453957164m²