Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68713 / 72671
↖ ↑ ↗
← S 19.225583°
E  8.725891°		 ← 288.39 m → S 19.225583°
E  8.728638°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.228177°
E  8.725891°		 ← 288.39 m →
83 158 m²		 S 19.228177°
E  8.728638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524242401123047 y=0.554439544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524242401123047 × 217)
    floor (0.524242401123047 × 131072)
    floor (68713.5)     		tx = 68713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554439544677734 × 217)
    floor (0.554439544677734 × 131072)
    floor (72671.5)     		ty = 72671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68713 / 72671 ti = "17/68713/72671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68713/72671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68713 ÷ 217
    68713 ÷ 131072     		x = 0.524238586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72671 ÷ 217
    72671 ÷ 131072     		y = 0.554435729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524238586425781 × 2 - 1) × π
    0.0484771728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15229553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554435729980469 × 2 - 1) × π
    -0.108871459960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.342029778789101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15229553} λ = 0.15229553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342029778789101))-π/2
    2×atan(0.710327051714758)-π/2
    2×0.617623298324499-π/2
    1.235246596649-1.57079632675     		φ = -0.33554973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15229553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.725891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33554973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.225583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68713 KachelY 72671 0.15229553 -0.33554973 8.725891 -19.225583
    Oben rechts KachelX + 1 68714 KachelY 72671 0.15234347 -0.33554973 8.728638 -19.225583
    Unten links KachelX 68713 KachelY + 1 72672 0.15229553 -0.33559499 8.725891 -19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 68714 KachelY + 1 72672 0.15234347 -0.33559499 8.728638 -19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33554973--0.33559499) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33554973--0.33559499) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15229553-0.15234347) × cos(-0.33554973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944229432664146 × 6371000     		do = 288.391973201205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15229553-0.15234347) × cos(-0.33559499) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 288.387420966419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33554973)-sin(-0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944229432664146-0.944214528108996)×R²
    abs(0.15234347-0.15229553)×1.49045551504079e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49045551504079e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49045551504079e-05×40589641000000     		ar = 83157.5902172572m²