Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68712 / 43943
↖ ↑ ↗
← N 50.890907°
E  8.723144°		 ← 192.66 m → N 50.890907°
E  8.725891°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.889174°
E  8.723144°		 ← 192.67 m →
37 119 m²		 N 50.889174°
E  8.725891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524234771728516 y=0.335262298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524234771728516 × 217)
    floor (0.524234771728516 × 131072)
    floor (68712.5)     		tx = 68712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335262298583984 × 217)
    floor (0.335262298583984 × 131072)
    floor (43943.5)     		ty = 43943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68712 / 43943 ti = "17/68712/43943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68712/43943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68712 ÷ 217
    68712 ÷ 131072     		x = 0.52423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43943 ÷ 217
    43943 ÷ 131072     		y = 0.335258483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52423095703125 × 2 - 1) × π
    0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335258483886719 × 2 - 1) × π
    0.329483032226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.03510147349587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15224759} λ = 0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03510147349587))-π/2
    2×atan(2.81539190878893)-π/2
    2×1.22950510332956-π/2
    2.45901020665912-1.57079632675     		φ = 0.88821388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88821388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.890907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68712 KachelY 43943 0.15224759 0.88821388 8.723144 50.890907
    Oben rechts KachelX + 1 68713 KachelY 43943 0.15229553 0.88821388 8.725891 50.890907
    Unten links KachelX 68712 KachelY + 1 43944 0.15224759 0.88818364 8.723144 50.889174
    Unten rechts KachelX + 1 68713 KachelY + 1 43944 0.15229553 0.88818364 8.725891 50.889174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88821388-0.88818364) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88821388-0.88818364) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15224759-0.15229553) × cos(0.88821388) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630798965242799 × 6371000     		do = 192.662240750613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15224759-0.15229553) × cos(0.88818364) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630822429570585 × 6371000     		du = 192.66940736029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88821388)-sin(0.88818364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630798965242799-0.630822429570585)×R²
    abs(0.15229553-0.15224759)×2.34643277856605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34643277856605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34643277856605e-05×40589641000000     		ar = 37118.8127060583m²