Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68711 / 43831
↖ ↑ ↗
← N 51.084547°
E  8.720398°		 ← 191.82 m → N 51.084547°
E  8.723144°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.082822°
E  8.720398°		 ← 191.83 m →
36 810 m²		 N 51.082822°
E  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524227142333984 y=0.334407806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524227142333984 × 217)
    floor (0.524227142333984 × 131072)
    floor (68711.5)     		tx = 68711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334407806396484 × 217)
    floor (0.334407806396484 × 131072)
    floor (43831.5)     		ty = 43831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68711 / 43831 ti = "17/68711/43831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68711/43831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68711 ÷ 217
    68711 ÷ 131072     		x = 0.524223327636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43831 ÷ 217
    43831 ÷ 131072     		y = 0.334403991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524223327636719 × 2 - 1) × π
    0.0484466552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15219966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334403991699219 × 2 - 1) × π
    0.331192016601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04047040625332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15219966} λ = 0.15219966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04047040625332))-π/2
    2×atan(2.83054820880366)-π/2
    2×1.23119493634762-π/2
    2.46238987269524-1.57079632675     		φ = 0.89159355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15219966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.720398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89159355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.084547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68711 KachelY 43831 0.15219966 0.89159355 8.720398 51.084547
    Oben rechts KachelX + 1 68712 KachelY 43831 0.15224759 0.89159355 8.723144 51.084547
    Unten links KachelX 68711 KachelY + 1 43832 0.15219966 0.89156343 8.720398 51.082822
    Unten rechts KachelX + 1 68712 KachelY + 1 43832 0.15224759 0.89156343 8.723144 51.082822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89159355-0.89156343) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dl = 191.894519999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89159355-0.89156343) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dr = 191.894519999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15219966-0.15224759) × cos(0.89159355) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628172925249731 × 6371000     		do = 191.820159645303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15219966-0.15224759) × cos(0.89156343) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628196360546435 × 6371000     		du = 191.827315895078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89159355)-sin(0.89156343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628172925249731-0.628196360546435)×R²
    abs(0.15224759-0.15219966)×2.34352967034557e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34352967034557e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34352967034557e-05×40589641000000     		ar = 36809.9240867763m²