Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68709 / 72652
↖ ↑ ↗
← S 19.176302°
E  8.714905°		 ← 288.48 m → S 19.176302°
E  8.717651°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
S 19.178895°
E  8.714905°		 ← 288.47 m →
83 201 m²		 S 19.178895°
E  8.717651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524211883544922 y=0.554294586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524211883544922 × 217)
    floor (0.524211883544922 × 131072)
    floor (68709.5)     		tx = 68709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554294586181641 × 217)
    floor (0.554294586181641 × 131072)
    floor (72652.5)     		ty = 72652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68709 / 72652 ti = "17/68709/72652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68709/72652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68709 ÷ 217
    68709 ÷ 131072     		x = 0.524208068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72652 ÷ 217
    72652 ÷ 131072     		y = 0.554290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524208068847656 × 2 - 1) × π
    0.0484161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15210378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.10858154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.34111897769632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15210378} λ = 0.15210378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34111897769632))-π/2
    2×atan(0.71097431308813)-π/2
    2×0.618053365359811-π/2
    1.23610673071962-1.57079632675     		φ = -0.33468960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15210378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.714905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33468960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.176302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68709 KachelY 72652 0.15210378 -0.33468960 8.714905 -19.176302
    Oben rechts KachelX + 1 68710 KachelY 72652 0.15215172 -0.33468960 8.717651 -19.176302
    Unten links KachelX 68709 KachelY + 1 72653 0.15210378 -0.33473487 8.714905 -19.178895
    Unten rechts KachelX + 1 68710 KachelY + 1 72653 0.15215172 -0.33473487 8.717651 -19.178895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33468960--0.33473487) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33468960--0.33473487) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15210378-0.15215172) × cos(-0.33468960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944512314085236 × 6371000     		do = 288.478372468573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15210378-0.15215172) × cos(-0.33473487) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944497443008481 × 6371000     		du = 288.473830458951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33468960)-sin(-0.33473487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944512314085236-0.944497443008481)×R²
    abs(0.15215172-0.15210378)×1.48710767550186e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48710767550186e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48710767550186e-05×40589641000000     		ar = 83200.8838588899m²