Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68708 / 72647
↖ ↑ ↗
← S 19.163330°
E  8.712158°		 ← 288.44 m → S 19.163330°
E  8.714905°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 19.165924°
E  8.712158°		 ← 288.44 m →
83 208 m²		 S 19.165924°
E  8.714905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524204254150391 y=0.554256439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524204254150391 × 217)
    floor (0.524204254150391 × 131072)
    floor (68708.5)     		tx = 68708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554256439208984 × 217)
    floor (0.554256439208984 × 131072)
    floor (72647.5)     		ty = 72647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68708 / 72647 ti = "17/68708/72647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68708/72647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68708 ÷ 217
    68708 ÷ 131072     		x = 0.524200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72647 ÷ 217
    72647 ÷ 131072     		y = 0.554252624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524200439453125 × 2 - 1) × π
    0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554252624511719 × 2 - 1) × π
    -0.108505249023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.340879293198219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15205585} λ = 0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340879293198219))-π/2
    2×atan(0.711144743033417)-π/2
    2×0.618166562294947-π/2
    1.23633312458989-1.57079632675     		φ = -0.33446320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33446320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.163330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68708 KachelY 72647 0.15205585 -0.33446320 8.712158 -19.163330
    Oben rechts KachelX + 1 68709 KachelY 72647 0.15210378 -0.33446320 8.714905 -19.163330
    Unten links KachelX 68708 KachelY + 1 72648 0.15205585 -0.33450848 8.712158 -19.165924
    Unten rechts KachelX + 1 68709 KachelY + 1 72648 0.15210378 -0.33450848 8.714905 -19.165924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33446320--0.33450848) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33446320--0.33450848) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15205585-0.15210378) × cos(-0.33446320) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944586656846641 × 6371000     		do = 288.440899045613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15205585-0.15210378) × cos(-0.33450848) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.94457179216757 × 6371000     		du = 288.436359937037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33446320)-sin(-0.33450848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944586656846641-0.94457179216757)×R²
    abs(0.15210378-0.15205585)×1.48646790717466e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.48646790717466e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.48646790717466e-05×40589641000000     		ar = 83208.452798549m²