Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68708 / 43492
↖ ↑ ↗
← N 51.665742°
E  8.712158°		 ← 189.40 m → N 51.665742°
E  8.714905°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
N 51.664038°
E  8.712158°		 ← 189.41 m →
35 887 m²		 N 51.664038°
E  8.714905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524204254150391 y=0.331821441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524204254150391 × 217)
    floor (0.524204254150391 × 131072)
    floor (68708.5)     		tx = 68708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331821441650391 × 217)
    floor (0.331821441650391 × 131072)
    floor (43492.5)     		ty = 43492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68708 / 43492 ti = "17/68708/43492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68708/43492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68708 ÷ 217
    68708 ÷ 131072     		x = 0.524200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43492 ÷ 217
    43492 ÷ 131072     		y = 0.331817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524200439453125 × 2 - 1) × π
    0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331817626953125 × 2 - 1) × π
    0.33636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05672101522452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15205585} λ = 0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05672101522452))-π/2
    2×atan(2.87692212254879)-π/2
    2×1.23626681244155-π/2
    2.47253362488309-1.57079632675     		φ = 0.90173730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90173730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.665742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68708 KachelY 43492 0.15205585 0.90173730 8.712158 51.665742
    Oben rechts KachelX + 1 68709 KachelY 43492 0.15210378 0.90173730 8.714905 51.665742
    Unten links KachelX 68708 KachelY + 1 43493 0.15205585 0.90170756 8.712158 51.664038
    Unten rechts KachelX + 1 68709 KachelY + 1 43493 0.15210378 0.90170756 8.714905 51.664038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90173730-0.90170756) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90173730-0.90170756) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15205585-0.15210378) × cos(0.90173730) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		do = 189.400236337579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15205585-0.15210378) × cos(0.90170756) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620271484989992 × 6371000     		du = 189.407359807665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90173730)-sin(0.90170756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62024815704026-0.620271484989992)×R²
    abs(0.15210378-0.15205585)×2.33279497316996e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33279497316996e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33279497316996e-05×40589641000000     		ar = 35887.0081129814m²