Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68707 / 72820
↖ ↑ ↗
← S 19.611544°
E  8.709412°		 ← 287.71 m → S 19.611544°
E  8.712158°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
S 19.614131°
E  8.709412°		 ← 287.70 m →
82 759 m²		 S 19.614131°
E  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524196624755859 y=0.555576324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524196624755859 × 217)
    floor (0.524196624755859 × 131072)
    floor (68707.5)     		tx = 68707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555576324462891 × 217)
    floor (0.555576324462891 × 131072)
    floor (72820.5)     		ty = 72820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68707 / 72820 ti = "17/68707/72820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68707/72820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68707 ÷ 217
    68707 ÷ 131072     		x = 0.524192810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72820 ÷ 217
    72820 ÷ 131072     		y = 0.555572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524192810058594 × 2 - 1) × π
    0.0483856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15200791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.349172376832489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15200791} λ = 0.15200791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.349172376832489))-π/2
    2×atan(0.705271547315842)-π/2
    2×0.614255160632317-π/2
    1.22851032126463-1.57079632675     		φ = -0.34228601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15200791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.709412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34228601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.611544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68707 KachelY 72820 0.15200791 -0.34228601 8.709412 -19.611544
    Oben rechts KachelX + 1 68708 KachelY 72820 0.15205585 -0.34228601 8.712158 -19.611544
    Unten links KachelX 68707 KachelY + 1 72821 0.15200791 -0.34233116 8.709412 -19.614131
    Unten rechts KachelX + 1 68708 KachelY + 1 72821 0.15205585 -0.34233116 8.712158 -19.614131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34228601--0.34233116) × R
    4.51500000000493e-05 × 6371000     		dl = 287.650650000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34228601--0.34233116) × R
    4.51500000000493e-05 × 6371000     		dr = 287.650650000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15200791-0.15205585) × cos(-0.34228601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941989848022573 × 6371000     		do = 287.70794640476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15200791-0.15205585) × cos(-0.34233116) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941974692854793 × 6371000     		du = 287.703317626426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34228601)-sin(-0.34233116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941989848022573-0.941974692854793)×R²
    abs(0.15205585-0.15200791)×1.51551677800565e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.51551677800565e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.51551677800565e-05×40589641000000     		ar = 82758.7120720974m²