Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68707 / 72651
↖ ↑ ↗
← S 19.173707°
E  8.709412°		 ← 288.48 m → S 19.173707°
E  8.712158°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 19.176302°
E  8.709412°		 ← 288.48 m →
83 221 m²		 S 19.176302°
E  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524196624755859 y=0.554286956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524196624755859 × 217)
    floor (0.524196624755859 × 131072)
    floor (68707.5)     		tx = 68707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554286956787109 × 217)
    floor (0.554286956787109 × 131072)
    floor (72651.5)     		ty = 72651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68707 / 72651 ti = "17/68707/72651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68707/72651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68707 ÷ 217
    68707 ÷ 131072     		x = 0.524192810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72651 ÷ 217
    72651 ÷ 131072     		y = 0.554283142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524192810058594 × 2 - 1) × π
    0.0483856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15200791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554283142089844 × 2 - 1) × π
    -0.108566284179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.3410710407967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15200791} λ = 0.15200791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3410710407967))-π/2
    2×atan(0.711008395809312)-π/2
    2×0.618076004034064-π/2
    1.23615200806813-1.57079632675     		φ = -0.33464432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15200791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.709412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33464432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.173707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68707 KachelY 72651 0.15200791 -0.33464432 8.709412 -19.173707
    Oben rechts KachelX + 1 68708 KachelY 72651 0.15205585 -0.33464432 8.712158 -19.173707
    Unten links KachelX 68707 KachelY + 1 72652 0.15200791 -0.33468960 8.709412 -19.176302
    Unten rechts KachelX + 1 68708 KachelY + 1 72652 0.15205585 -0.33468960 8.712158 -19.176302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33464432--0.33468960) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33464432--0.33468960) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15200791-0.15205585) × cos(-0.33464432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944527186510665 × 6371000     		do = 288.482914890116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15200791-0.15205585) × cos(-0.33468960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944512314085236 × 6371000     		du = 288.478372468573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33464432)-sin(-0.33468960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944527186510665-0.944512314085236)×R²
    abs(0.15205585-0.15200791)×1.4872425429413e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4872425429413e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4872425429413e-05×40589641000000     		ar = 83220.5730045104m²