Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68707 / 43757
↖ ↑ ↗
← N 51.212045°
E  8.709412°		 ← 191.33 m → N 51.212045°
E  8.712158°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 51.210325°
E  8.709412°		 ← 191.34 m →
36 606 m²		 N 51.210325°
E  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524196624755859 y=0.333843231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524196624755859 × 217)
    floor (0.524196624755859 × 131072)
    floor (68707.5)     		tx = 68707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333843231201172 × 217)
    floor (0.333843231201172 × 131072)
    floor (43757.5)     		ty = 43757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68707 / 43757 ti = "17/68707/43757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68707/43757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68707 ÷ 217
    68707 ÷ 131072     		x = 0.524192810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43757 ÷ 217
    43757 ÷ 131072     		y = 0.333839416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524192810058594 × 2 - 1) × π
    0.0483856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15200791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333839416503906 × 2 - 1) × π
    0.332321166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0440177368252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15200791} λ = 0.15200791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0440177368252))-π/2
    2×atan(2.84060692925536)-π/2
    2×1.23230756775932-π/2
    2.46461513551865-1.57079632675     		φ = 0.89381881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15200791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.709412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89381881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.212045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68707 KachelY 43757 0.15200791 0.89381881 8.709412 51.212045
    Oben rechts KachelX + 1 68708 KachelY 43757 0.15205585 0.89381881 8.712158 51.212045
    Unten links KachelX 68707 KachelY + 1 43758 0.15200791 0.89378878 8.709412 51.210325
    Unten rechts KachelX + 1 68708 KachelY + 1 43758 0.15205585 0.89378878 8.712158 51.210325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89381881-0.89378878) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89381881-0.89378878) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15200791-0.15205585) × cos(0.89381881) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62643995497644 × 6371000     		do = 191.330886814231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15200791-0.15205585) × cos(0.89378878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626463362168479 × 6371000     		du = 191.338035973181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89381881)-sin(0.89378878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62643995497644-0.626463362168479)×R²
    abs(0.15205585-0.15200791)×2.34071920396373e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34071920396373e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34071920396373e-05×40589641000000     		ar = 36606.3253645677m²