Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68706 / 72654
↖ ↑ ↗
← S 19.181490°
E  8.706665°		 ← 288.47 m → S 19.181490°
E  8.709412°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
S 19.184083°
E  8.706665°		 ← 288.46 m →
83 198 m²		 S 19.184083°
E  8.709412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524188995361328 y=0.554309844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524188995361328 × 217)
    floor (0.524188995361328 × 131072)
    floor (68706.5)     		tx = 68706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554309844970703 × 217)
    floor (0.554309844970703 × 131072)
    floor (72654.5)     		ty = 72654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68706 / 72654 ti = "17/68706/72654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68706/72654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68706 ÷ 217
    68706 ÷ 131072     		x = 0.524185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72654 ÷ 217
    72654 ÷ 131072     		y = 0.554306030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524185180664062 × 2 - 1) × π
    0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554306030273438 × 2 - 1) × π
    -0.108612060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.34121485149556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15195997} λ = 0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34121485149556))-π/2
    2×atan(0.710906152547029)-π/2
    2×0.61800808908075-π/2
    1.2360161781615-1.57079632675     		φ = -0.33478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.181490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68706 KachelY 72654 0.15195997 -0.33478015 8.706665 -19.181490
    Oben rechts KachelX + 1 68707 KachelY 72654 0.15200791 -0.33478015 8.709412 -19.181490
    Unten links KachelX 68706 KachelY + 1 72655 0.15195997 -0.33482542 8.706665 -19.184083
    Unten rechts KachelX + 1 68707 KachelY + 1 72655 0.15200791 -0.33482542 8.709412 -19.184083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33478015--0.33482542) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33478015--0.33482542) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15195997-0.15200791) × cos(-0.33478015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944482566710483 × 6371000     		do = 288.469286854626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15195997-0.15200791) × cos(-0.33482542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944467691762076 × 6371000     		du = 288.464743662502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33478015)-sin(-0.33482542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944482566710483-0.944467691762076)×R²
    abs(0.15200791-0.15195997)×1.48749484069066e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48749484069066e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48749484069066e-05×40589641000000     		ar = 83198.2632594114m²