Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68706 / 43741
↖ ↑ ↗
← N 51.239566°
E  8.706665°		 ← 191.22 m → N 51.239566°
E  8.709412°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 51.237847°
E  8.706665°		 ← 191.22 m →
36 560 m²		 N 51.237847°
E  8.709412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524188995361328 y=0.333721160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524188995361328 × 217)
    floor (0.524188995361328 × 131072)
    floor (68706.5)     		tx = 68706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333721160888672 × 217)
    floor (0.333721160888672 × 131072)
    floor (43741.5)     		ty = 43741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68706 / 43741 ti = "17/68706/43741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68706/43741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68706 ÷ 217
    68706 ÷ 131072     		x = 0.524185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43741 ÷ 217
    43741 ÷ 131072     		y = 0.333717346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524185180664062 × 2 - 1) × π
    0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333717346191406 × 2 - 1) × π
    0.332565307617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04478472721912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15195997} λ = 0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04478472721912))-π/2
    2×atan(2.84278648322463)-π/2
    2×1.23254773266645-π/2
    2.46509546533289-1.57079632675     		φ = 0.89429914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89429914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.239566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68706 KachelY 43741 0.15195997 0.89429914 8.706665 51.239566
    Oben rechts KachelX + 1 68707 KachelY 43741 0.15200791 0.89429914 8.709412 51.239566
    Unten links KachelX 68706 KachelY + 1 43742 0.15195997 0.89426913 8.706665 51.237847
    Unten rechts KachelX + 1 68707 KachelY + 1 43742 0.15200791 0.89426913 8.709412 51.237847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89429914-0.89426913) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89429914-0.89426913) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15195997-0.15200791) × cos(0.89429914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626065480054061 × 6371000     		do = 191.216512533952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15195997-0.15200791) × cos(0.89426913) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626088880684499 × 6371000     		du = 191.22365968882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89429914)-sin(0.89426913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626065480054061-0.626088880684499)×R²
    abs(0.15200791-0.15195997)×2.34006304381529e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34006304381529e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34006304381529e-05×40589641000000     		ar = 36560.0776929422m²