Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68701 / 72802
↖ ↑ ↗
← S 19.564966°
E  8.692932°		 ← 287.73 m → S 19.564966°
E  8.695678°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
S 19.567554°
E  8.692932°		 ← 287.73 m →
82 802 m²		 S 19.567554°
E  8.695678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524150848388672 y=0.555438995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524150848388672 × 217)
    floor (0.524150848388672 × 131072)
    floor (68701.5)     		tx = 68701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555438995361328 × 217)
    floor (0.555438995361328 × 131072)
    floor (72802.5)     		ty = 72802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68701 / 72802 ti = "17/68701/72802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68701/72802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68701 ÷ 217
    68701 ÷ 131072     		x = 0.524147033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72802 ÷ 217
    72802 ÷ 131072     		y = 0.555435180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524147033691406 × 2 - 1) × π
    0.0482940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15172029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555435180664062 × 2 - 1) × π
    -0.110870361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.348309512639328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15172029} λ = 0.15172029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348309512639328))-π/2
    2×atan(0.705880363505548)-π/2
    2×0.614661624098989-π/2
    1.22932324819798-1.57079632675     		φ = -0.34147308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15172029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.692932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34147308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.564966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68701 KachelY 72802 0.15172029 -0.34147308 8.692932 -19.564966
    Oben rechts KachelX + 1 68702 KachelY 72802 0.15176822 -0.34147308 8.695678 -19.564966
    Unten links KachelX 68701 KachelY + 1 72803 0.15172029 -0.34151825 8.692932 -19.567554
    Unten rechts KachelX + 1 68702 KachelY + 1 72803 0.15176822 -0.34151825 8.695678 -19.567554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34147308--0.34151825) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34147308--0.34151825) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15172029-0.15176822) × cos(-0.34147308) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942262389668341 × 6371000     		do = 287.731156101785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15172029-0.15176822) × cos(-0.34151825) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942247262381523 × 6371000     		du = 287.726536802774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34147308)-sin(-0.34151825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942262389668341-0.942247262381523)×R²
    abs(0.15176822-0.15172029)×1.51272868179619e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.51272868179619e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.51272868179619e-05×40589641000000     		ar = 82802.0521295104m²