Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68700 / 72794
↖ ↑ ↗
← S 19.544261°
E  8.690186°		 ← 287.83 m → S 19.544261°
E  8.692932°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
S 19.546849°
E  8.690186°		 ← 287.82 m →
82 848 m²		 S 19.546849°
E  8.692932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524143218994141 y=0.555377960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524143218994141 × 217)
    floor (0.524143218994141 × 131072)
    floor (68700.5)     		tx = 68700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555377960205078 × 217)
    floor (0.555377960205078 × 131072)
    floor (72794.5)     		ty = 72794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68700 / 72794 ti = "17/68700/72794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68700/72794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68700 ÷ 217
    68700 ÷ 131072     		x = 0.524139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72794 ÷ 217
    72794 ÷ 131072     		y = 0.555374145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555374145507812 × 2 - 1) × π
    -0.110748291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.347926017442368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15167235} λ = 0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347926017442368))-π/2
    2×atan(0.706151117147623)-π/2
    2×0.614842312247525-π/2
    1.22968462449505-1.57079632675     		φ = -0.34111170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34111170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.544261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68700 KachelY 72794 0.15167235 -0.34111170 8.690186 -19.544261
    Oben rechts KachelX + 1 68701 KachelY 72794 0.15172029 -0.34111170 8.692932 -19.544261
    Unten links KachelX 68700 KachelY + 1 72795 0.15167235 -0.34115688 8.690186 -19.546849
    Unten rechts KachelX + 1 68701 KachelY + 1 72795 0.15172029 -0.34115688 8.692932 -19.546849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34111170--0.34115688) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34111170--0.34115688) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15167235-0.15172029) × cos(-0.34111170) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942383345440086 × 6371000     		do = 287.828130644692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15167235-0.15172029) × cos(-0.34115688) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942368230189409 × 6371000     		du = 287.823514058068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34111170)-sin(-0.34115688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942383345440086-0.942368230189409)×R²
    abs(0.15172029-0.15167235)×1.5115250676434e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5115250676434e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5115250676434e-05×40589641000000     		ar = 82848.2970496366m²