Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68700 / 43892
↖ ↑ ↗
← N 50.979182°
E  8.690186°		 ← 192.30 m → N 50.979182°
E  8.692932°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
N 50.977453°
E  8.690186°		 ← 192.30 m →
36 975 m²		 N 50.977453°
E  8.692932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524143218994141 y=0.334873199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524143218994141 × 217)
    floor (0.524143218994141 × 131072)
    floor (68700.5)     		tx = 68700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334873199462891 × 217)
    floor (0.334873199462891 × 131072)
    floor (43892.5)     		ty = 43892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68700 / 43892 ti = "17/68700/43892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68700/43892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68700 ÷ 217
    68700 ÷ 131072     		x = 0.524139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43892 ÷ 217
    43892 ÷ 131072     		y = 0.334869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334869384765625 × 2 - 1) × π
    0.33026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0375462553765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15167235} λ = 0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0375462553765))-π/2
    2×atan(2.82228334851539)-π/2
    2×1.23027545504763-π/2
    2.46055091009526-1.57079632675     		φ = 0.88975458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88975458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.979182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68700 KachelY 43892 0.15167235 0.88975458 8.690186 50.979182
    Oben rechts KachelX + 1 68701 KachelY 43892 0.15172029 0.88975458 8.692932 50.979182
    Unten links KachelX 68700 KachelY + 1 43893 0.15167235 0.88972440 8.690186 50.977453
    Unten rechts KachelX + 1 68701 KachelY + 1 43893 0.15172029 0.88972440 8.692932 50.977453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88975458-0.88972440) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88975458-0.88972440) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15167235-0.15172029) × cos(0.88975458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62960271656501 × 6371000     		do = 192.296875612864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15167235-0.15172029) × cos(0.88972440) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629626163640996 × 6371000     		du = 192.304036953397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88975458)-sin(0.88972440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62960271656501-0.629626163640996)×R²
    abs(0.15172029-0.15167235)×2.3447075985672e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3447075985672e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3447075985672e-05×40589641000000     		ar = 36974.9125294771m²