Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68700 / 43305
↖ ↑ ↗
← N 51.983189°
E  8.690186°		 ← 188.11 m → N 51.983189°
E  8.692932°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 51.981497°
E  8.690186°		 ← 188.12 m →
35 391 m²		 N 51.981497°
E  8.692932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524143218994141 y=0.330394744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524143218994141 × 217)
    floor (0.524143218994141 × 131072)
    floor (68700.5)     		tx = 68700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330394744873047 × 217)
    floor (0.330394744873047 × 131072)
    floor (43305.5)     		ty = 43305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68700 / 43305 ti = "17/68700/43305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68700/43305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68700 ÷ 217
    68700 ÷ 131072     		x = 0.524139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43305 ÷ 217
    43305 ÷ 131072     		y = 0.330390930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330390930175781 × 2 - 1) × π
    0.339218139648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06568521545347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15167235} λ = 0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06568521545347))-π/2
    2×atan(2.90282736491638)-π/2
    2×1.23903706152252-π/2
    2.47807412304504-1.57079632675     		φ = 0.90727780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90727780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.983189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68700 KachelY 43305 0.15167235 0.90727780 8.690186 51.983189
    Oben rechts KachelX + 1 68701 KachelY 43305 0.15172029 0.90727780 8.692932 51.983189
    Unten links KachelX 68700 KachelY + 1 43306 0.15167235 0.90724827 8.690186 51.981497
    Unten rechts KachelX + 1 68701 KachelY + 1 43306 0.15172029 0.90724827 8.692932 51.981497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90727780-0.90724827) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dl = 188.135630000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90727780-0.90724827) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dr = 188.135630000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15167235-0.15172029) × cos(0.90727780) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615892659873605 × 6371000     		do = 188.10947140245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15167235-0.15172029) × cos(0.90724827) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615915924227264 × 6371000     		du = 188.116576934882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90727780)-sin(0.90724827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615892659873605-0.615915924227264)×R²
    abs(0.15172029-0.15167235)×2.32643536589583e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32643536589583e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32643536589583e-05×40589641000000     		ar = 35390.7623158366m²