Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6870 / 5376
↖ ↑ ↗
← N 52.482780°
W 29.047852°		 ← 1 487.92 m → N 52.482780°
W 29.025879°		 →
↑
1 488.20 m
↓
↑
1 488.20 m
↓
N 52.469397°
W 29.047852°		 ← 1 488.37 m →
2 214 658 m²		 N 52.469397°
W 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419342041015625 y=0.328155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419342041015625 × 214)
    floor (0.419342041015625 × 16384)
    floor (6870.5)     		tx = 6870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328155517578125 × 214)
    floor (0.328155517578125 × 16384)
    floor (5376.5)     		ty = 5376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6870 / 5376 ti = "14/6870/5376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6870/5376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6870 ÷ 214
    6870 ÷ 16384     		x = 0.4193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5376 ÷ 214
    5376 ÷ 16384     		y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50698065} λ = -0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675     		φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6870 KachelY 5376 -0.50698065 0.91599732 -29.047852 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 6871 KachelY 5376 -0.50659716 0.91599732 -29.025879 52.482780
    Unten links KachelX 6870 KachelY + 1 5377 -0.50698065 0.91576373 -29.047852 52.469397
    Unten rechts KachelX + 1 6871 KachelY + 1 5377 -0.50659716 0.91576373 -29.025879 52.469397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91599732-0.91576373) × R
    0.000233590000000006 × 6371000     		dl = 1488.20189000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91599732-0.91576373) × R
    0.000233590000000006 × 6371000     		dr = 1488.20189000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50698065--0.50659716) × cos(0.91599732) × R
    0.000383490000000042 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 1487.91740100176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50698065--0.50659716) × cos(0.91576373) × R
    0.000383490000000042 × 0.609185093826434 × 6371000     		du = 1488.37003108444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.91576373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.609185093826434)×R²
    abs(-0.50659716--0.50698065)×0.000185260045305391×R²
    0.000383490000000042×0.000185260045305391×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185260045305391×40589641000000     		ar = 2214658.30087772m²