Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6870 / 2292
↖ ↑ ↗
← N 78.116408°
W 29.047852°		 ← 503.12 m → N 78.116408°
W 29.025879°		 →
↑
503.25 m
↓
↑
503.25 m
↓
N 78.111882°
W 29.047852°		 ← 503.31 m →
253 239 m²		 N 78.111882°
W 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419342041015625 y=0.139923095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419342041015625 × 214)
    floor (0.419342041015625 × 16384)
    floor (6870.5)     		tx = 6870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139923095703125 × 214)
    floor (0.139923095703125 × 16384)
    floor (2292.5)     		ty = 2292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6870 / 2292 ti = "14/6870/2292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6870/2292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6870 ÷ 214
    6870 ÷ 16384     		x = 0.4193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2292 ÷ 214
    2292 ÷ 16384     		y = 0.139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139892578125 × 2 - 1) × π
    0.72021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26262166206665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50698065} λ = -0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26262166206665))-π/2
    2×atan(9.6082457497352)-π/2
    2×1.46709242288946-π/2
    2.93418484577891-1.57079632675     		φ = 1.36338852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36338852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.116408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6870 KachelY 2292 -0.50698065 1.36338852 -29.047852 78.116408
    Oben rechts KachelX + 1 6871 KachelY 2292 -0.50659716 1.36338852 -29.025879 78.116408
    Unten links KachelX 6870 KachelY + 1 2293 -0.50698065 1.36330953 -29.047852 78.111882
    Unten rechts KachelX + 1 6871 KachelY + 1 2293 -0.50659716 1.36330953 -29.025879 78.111882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36338852-1.36330953) × R
    7.8990000000001e-05 × 6371000     		dl = 503.245290000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36338852-1.36330953) × R
    7.8990000000001e-05 × 6371000     		dr = 503.245290000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50698065--0.50659716) × cos(1.36338852) × R
    0.000383490000000042 × 0.205923957224646 × 6371000     		do = 503.116457906638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50698065--0.50659716) × cos(1.36330953) × R
    0.000383490000000042 × 0.206001253668189 × 6371000     		du = 503.305309720716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36338852)-sin(1.36330953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205923957224646-0.206001253668189)×R²
    abs(-0.50659716--0.50698065)×7.72964435428181e-05×R²
    0.000383490000000042×7.72964435428181e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.72964435428181e-05×40589641000000     		ar = 253238.507287353m²