Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6870 / 1621
↖ ↑ ↗
← N 80.799341°
W 29.047852°		 ← 390.65 m → N 80.799341°
W 29.025879°		 →
↑
390.73 m
↓
↑
390.73 m
↓
N 80.795827°
W 29.047852°		 ← 390.80 m →
152 670 m²		 N 80.795827°
W 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419342041015625 y=0.098968505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419342041015625 × 214)
    floor (0.419342041015625 × 16384)
    floor (6870.5)     		tx = 6870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098968505859375 × 214)
    floor (0.098968505859375 × 16384)
    floor (1621.5)     		ty = 1621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6870 / 1621 ti = "14/6870/1621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6870/1621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6870 ÷ 214
    6870 ÷ 16384     		x = 0.4193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1621 ÷ 214
    1621 ÷ 16384     		y = 0.09893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09893798828125 × 2 - 1) × π
    0.8021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51994693922711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50698065} λ = -0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51994693922711))-π/2
    2×atan(12.4279372101284)-π/2
    2×1.49050543192677-π/2
    2.98101086385353-1.57079632675     		φ = 1.41021454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41021454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.799341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6870 KachelY 1621 -0.50698065 1.41021454 -29.047852 80.799341
    Oben rechts KachelX + 1 6871 KachelY 1621 -0.50659716 1.41021454 -29.025879 80.799341
    Unten links KachelX 6870 KachelY + 1 1622 -0.50698065 1.41015321 -29.047852 80.795827
    Unten rechts KachelX + 1 6871 KachelY + 1 1622 -0.50659716 1.41015321 -29.025879 80.795827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41021454-1.41015321) × R
    6.13299999998596e-05 × 6371000     		dl = 390.733429999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41021454-1.41015321) × R
    6.13299999998596e-05 × 6371000     		dr = 390.733429999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50698065--0.50659716) × cos(1.41021454) × R
    0.000383490000000042 × 0.159892535416191 × 6371000     		do = 390.651807339479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50698065--0.50659716) × cos(1.41015321) × R
    0.000383490000000042 × 0.159953076069858 × 6371000     		du = 390.799721159914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41021454)-sin(1.41015321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159892535416191-0.159953076069858)×R²
    abs(-0.50659716--0.50698065)×6.05406536670627e-05×R²
    0.000383490000000042×6.05406536670627e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.05406536670627e-05×40589641000000     		ar = 152669.618102531m²