Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68699 / 44029
↖ ↑ ↗
← N 50.741669°
E  8.687439°		 ← 193.28 m → N 50.741669°
E  8.690186°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.739932°
E  8.687439°		 ← 193.29 m →
37 348 m²		 N 50.739932°
E  8.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524135589599609 y=0.335918426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524135589599609 × 217)
    floor (0.524135589599609 × 131072)
    floor (68699.5)     		tx = 68699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335918426513672 × 217)
    floor (0.335918426513672 × 131072)
    floor (44029.5)     		ty = 44029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68699 / 44029 ti = "17/68699/44029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68699/44029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68699 ÷ 217
    68699 ÷ 131072     		x = 0.524131774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44029 ÷ 217
    44029 ÷ 131072     		y = 0.335914611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524131774902344 × 2 - 1) × π
    0.0482635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15162441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335914611816406 × 2 - 1) × π
    0.328170776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03097890012855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15162441} λ = 0.15162441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03097890012855))-π/2
    2×atan(2.80380914089707)-π/2
    2×1.22820276538029-π/2
    2.45640553076058-1.57079632675     		φ = 0.88560920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15162441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.687439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88560920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.741669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68699 KachelY 44029 0.15162441 0.88560920 8.687439 50.741669
    Oben rechts KachelX + 1 68700 KachelY 44029 0.15167235 0.88560920 8.690186 50.741669
    Unten links KachelX 68699 KachelY + 1 44030 0.15162441 0.88557887 8.687439 50.739932
    Unten rechts KachelX + 1 68700 KachelY + 1 44030 0.15167235 0.88557887 8.690186 50.739932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88560920-0.88557887) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88560920-0.88557887) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15162441-0.15167235) × cos(0.88560920) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632817914992752 × 6371000     		do = 193.278879972016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15162441-0.15167235) × cos(0.88557887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632841399240198 × 6371000     		du = 193.28605266567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88560920)-sin(0.88557887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632817914992752-0.632841399240198)×R²
    abs(0.15167235-0.15162441)×2.3484247445138e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3484247445138e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3484247445138e-05×40589641000000     		ar = 37348.4406459935m²