Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68697 / 43847
↖ ↑ ↗
← N 51.056934°
E  8.681946°		 ← 191.97 m → N 51.056934°
E  8.684693°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.055207°
E  8.681946°		 ← 191.98 m →
36 852 m²		 N 51.055207°
E  8.684693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524120330810547 y=0.334529876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524120330810547 × 217)
    floor (0.524120330810547 × 131072)
    floor (68697.5)     		tx = 68697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334529876708984 × 217)
    floor (0.334529876708984 × 131072)
    floor (43847.5)     		ty = 43847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68697 / 43847 ti = "17/68697/43847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68697/43847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68697 ÷ 217
    68697 ÷ 131072     		x = 0.524116516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43847 ÷ 217
    43847 ÷ 131072     		y = 0.334526062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524116516113281 × 2 - 1) × π
    0.0482330322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15152854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334526062011719 × 2 - 1) × π
    0.330947875976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.0397034158594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15152854} λ = 0.15152854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0397034158594))-π/2
    2×atan(2.82837803787449)-π/2
    2×1.23095396315978-π/2
    2.46190792631956-1.57079632675     		φ = 0.89111160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15152854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.681946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89111160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.056934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68697 KachelY 43847 0.15152854 0.89111160 8.681946 51.056934
    Oben rechts KachelX + 1 68698 KachelY 43847 0.15157648 0.89111160 8.684693 51.056934
    Unten links KachelX 68697 KachelY + 1 43848 0.15152854 0.89108147 8.681946 51.055207
    Unten rechts KachelX + 1 68698 KachelY + 1 43848 0.15157648 0.89108147 8.684693 51.055207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89111160-0.89108147) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89111160-0.89108147) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15152854-0.15157648) × cos(0.89111160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628547844929157 × 6371000     		do = 191.97469066299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15152854-0.15157648) × cos(0.89108147) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628571278881721 × 6371000     		du = 191.981847995292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89111160)-sin(0.89108147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628547844929157-0.628571278881721)×R²
    abs(0.15157648-0.15152854)×2.34339525638783e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34339525638783e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34339525638783e-05×40589641000000     		ar = 36851.8087817083m²