Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68693 / 43587
↖ ↑ ↗
← N 51.503614°
E  8.670959°		 ← 190.12 m → N 51.503614°
E  8.673706°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
N 51.501904°
E  8.670959°		 ← 190.12 m →
36 144 m²		 N 51.501904°
E  8.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524089813232422 y=0.332546234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524089813232422 × 217)
    floor (0.524089813232422 × 131072)
    floor (68693.5)     		tx = 68693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332546234130859 × 217)
    floor (0.332546234130859 × 131072)
    floor (43587.5)     		ty = 43587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68693 / 43587 ti = "17/68693/43587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68693/43587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68693 ÷ 217
    68693 ÷ 131072     		x = 0.524085998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43587 ÷ 217
    43587 ÷ 131072     		y = 0.332542419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524085998535156 × 2 - 1) × π
    0.0481719970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15133679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332542419433594 × 2 - 1) × π
    0.334915161132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05216700976061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15133679} λ = 0.15133679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05216700976061))-π/2
    2×atan(2.86385039044437)-π/2
    2×1.23485198205781-π/2
    2.46970396411563-1.57079632675     		φ = 0.89890764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15133679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.670959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89890764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.503614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68693 KachelY 43587 0.15133679 0.89890764 8.670959 51.503614
    Oben rechts KachelX + 1 68694 KachelY 43587 0.15138473 0.89890764 8.673706 51.503614
    Unten links KachelX 68693 KachelY + 1 43588 0.15133679 0.89887780 8.670959 51.501904
    Unten rechts KachelX + 1 68694 KachelY + 1 43588 0.15138473 0.89887780 8.673706 51.501904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89890764-0.89887780) × R
    2.98400000000587e-05 × 6371000     		dl = 190.110640000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89890764-0.89887780) × R
    2.98400000000587e-05 × 6371000     		dr = 190.110640000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15133679-0.15138473) × cos(0.89890764) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.622465272215367 × 6371000     		do = 190.116916390665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15133679-0.15138473) × cos(0.89887780) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.622488626137264 × 6371000     		du = 190.124049279542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89890764)-sin(0.89887780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622465272215367-0.622488626137264)×R²
    abs(0.15138473-0.15133679)×2.33539218961187e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33539218961187e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33539218961187e-05×40589641000000     		ar = 36143.9266716134m²