Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68692 / 43860
↖ ↑ ↗
← N 51.034486°
E  8.668213°		 ← 192.03 m → N 51.034486°
E  8.670959°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
N 51.032758°
E  8.668213°		 ← 192.03 m →
36 886 m²		 N 51.032758°
E  8.670959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524082183837891 y=0.334629058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524082183837891 × 217)
    floor (0.524082183837891 × 131072)
    floor (68692.5)     		tx = 68692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334629058837891 × 217)
    floor (0.334629058837891 × 131072)
    floor (43860.5)     		ty = 43860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68692 / 43860 ti = "17/68692/43860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68692/43860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68692 ÷ 217
    68692 ÷ 131072     		x = 0.524078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43860 ÷ 217
    43860 ÷ 131072     		y = 0.334625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524078369140625 × 2 - 1) × π
    0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334625244140625 × 2 - 1) × π
    0.33074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03908023616434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15128886} λ = 0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03908023616434))-π/2
    2×atan(2.82661599920172)-π/2
    2×1.23075806656668-π/2
    2.46151613313336-1.57079632675     		φ = 0.89071981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89071981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.034486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68692 KachelY 43860 0.15128886 0.89071981 8.668213 51.034486
    Oben rechts KachelX + 1 68693 KachelY 43860 0.15133679 0.89071981 8.670959 51.034486
    Unten links KachelX 68692 KachelY + 1 43861 0.15128886 0.89068966 8.668213 51.032758
    Unten rechts KachelX + 1 68693 KachelY + 1 43861 0.15133679 0.89068966 8.670959 51.032758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89071981-0.89068966) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dl = 192.085649999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89071981-0.89068966) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dr = 192.085649999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15128886-0.15133679) × cos(0.89071981) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628852519549913 × 6371000     		do = 192.027681940383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15128886-0.15133679) × cos(0.89068966) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628875961630877 × 6371000     		du = 192.034840261813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89071981)-sin(0.89068966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628852519549913-0.628875961630877)×R²
    abs(0.15133679-0.15128886)×2.34420809637204e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34420809637204e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34420809637204e-05×40589641000000     		ar = 36886.4496116782m²