Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68692 / 43286
↖ ↑ ↗
← N 52.015317°
E  8.668213°		 ← 187.94 m → N 52.015317°
E  8.670959°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
N 52.013627°
E  8.668213°		 ← 187.94 m →
35 322 m²		 N 52.013627°
E  8.670959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524082183837891 y=0.330249786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524082183837891 × 217)
    floor (0.524082183837891 × 131072)
    floor (68692.5)     		tx = 68692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330249786376953 × 217)
    floor (0.330249786376953 × 131072)
    floor (43286.5)     		ty = 43286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68692 / 43286 ti = "17/68692/43286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68692/43286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68692 ÷ 217
    68692 ÷ 131072     		x = 0.524078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43286 ÷ 217
    43286 ÷ 131072     		y = 0.330245971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524078369140625 × 2 - 1) × π
    0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330245971679688 × 2 - 1) × π
    0.339508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06659601654625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15128886} λ = 0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06659601654625))-π/2
    2×atan(2.90547246765088)-π/2
    2×1.2393174387577-π/2
    2.47863487751541-1.57079632675     		φ = 0.90783855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90783855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.015317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68692 KachelY 43286 0.15128886 0.90783855 8.668213 52.015317
    Oben rechts KachelX + 1 68693 KachelY 43286 0.15133679 0.90783855 8.670959 52.015317
    Unten links KachelX 68692 KachelY + 1 43287 0.15128886 0.90780905 8.668213 52.013627
    Unten rechts KachelX + 1 68693 KachelY + 1 43287 0.15133679 0.90780905 8.670959 52.013627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90783855-0.90780905) × R
    2.95000000000156e-05 × 6371000     		dl = 187.9445000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90783855-0.90780905) × R
    2.95000000000156e-05 × 6371000     		dr = 187.9445000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15128886-0.15133679) × cos(0.90783855) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.615450787349806 × 6371000     		do = 187.935301790241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15128886-0.15133679) × cos(0.90780905) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.615474038253819 × 6371000     		du = 187.94240173349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90783855)-sin(0.90780905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615450787349806-0.615474038253819)×R²
    abs(0.15133679-0.15128886)×2.32509040131168e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32509040131168e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32509040131168e-05×40589641000000     		ar = 35322.073527694m²