Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68691 / 43861
↖ ↑ ↗
← N 51.032758°
E  8.665466°		 ← 192.07 m → N 51.032758°
E  8.668213°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
N 51.031031°
E  8.665466°		 ← 192.08 m →
36 896 m²		 N 51.031031°
E  8.668213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524074554443359 y=0.334636688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524074554443359 × 217)
    floor (0.524074554443359 × 131072)
    floor (68691.5)     		tx = 68691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334636688232422 × 217)
    floor (0.334636688232422 × 131072)
    floor (43861.5)     		ty = 43861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68691 / 43861 ti = "17/68691/43861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68691/43861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68691 ÷ 217
    68691 ÷ 131072     		x = 0.524070739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43861 ÷ 217
    43861 ÷ 131072     		y = 0.334632873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524070739746094 × 2 - 1) × π
    0.0481414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15124092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334632873535156 × 2 - 1) × π
    0.330734252929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03903229926472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15124092} λ = 0.15124092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03903229926472))-π/2
    2×atan(2.82648050324195)-π/2
    2×1.23074299366566-π/2
    2.46148598733133-1.57079632675     		φ = 0.89068966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15124092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.665466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89068966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.032758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68691 KachelY 43861 0.15124092 0.89068966 8.665466 51.032758
    Oben rechts KachelX + 1 68692 KachelY 43861 0.15128886 0.89068966 8.668213 51.032758
    Unten links KachelX 68691 KachelY + 1 43862 0.15124092 0.89065951 8.665466 51.031031
    Unten rechts KachelX + 1 68692 KachelY + 1 43862 0.15128886 0.89065951 8.668213 51.031031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89068966-0.89065951) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dl = 192.085650000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89068966-0.89065951) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dr = 192.085650000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15124092-0.15128886) × cos(0.89068966) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628875961630877 × 6371000     		do = 192.074905949307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15124092-0.15128886) × cos(0.89065951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628899403140179 × 6371000     		du = 192.082065589633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89068966)-sin(0.89065951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628875961630877-0.628899403140179)×R²
    abs(0.15128886-0.15124092)×2.34415093015583e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34415093015583e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34415093015583e-05×40589641000000     		ar = 36895.5207929444m²