Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68691 / 43309
↖ ↑ ↗
← N 51.976422°
E  8.665466°		 ← 188.14 m → N 51.976422°
E  8.668213°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 51.974730°
E  8.665466°		 ← 188.14 m →
35 396 m²		 N 51.974730°
E  8.668213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524074554443359 y=0.330425262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524074554443359 × 217)
    floor (0.524074554443359 × 131072)
    floor (68691.5)     		tx = 68691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330425262451172 × 217)
    floor (0.330425262451172 × 131072)
    floor (43309.5)     		ty = 43309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68691 / 43309 ti = "17/68691/43309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68691/43309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68691 ÷ 217
    68691 ÷ 131072     		x = 0.524070739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43309 ÷ 217
    43309 ÷ 131072     		y = 0.330421447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524070739746094 × 2 - 1) × π
    0.0481414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15124092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330421447753906 × 2 - 1) × π
    0.339157104492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06549346785499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15124092} λ = 0.15124092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06549346785499))-π/2
    2×atan(2.90227080810128)-π/2
    2×1.2389780090929-π/2
    2.47795601818579-1.57079632675     		φ = 0.90715969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15124092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.665466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90715969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.976422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68691 KachelY 43309 0.15124092 0.90715969 8.665466 51.976422
    Oben rechts KachelX + 1 68692 KachelY 43309 0.15128886 0.90715969 8.668213 51.976422
    Unten links KachelX 68691 KachelY + 1 43310 0.15124092 0.90713016 8.665466 51.974730
    Unten rechts KachelX + 1 68692 KachelY + 1 43310 0.15128886 0.90713016 8.668213 51.974730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90715969-0.90713016) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dl = 188.135629999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90715969-0.90713016) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dr = 188.135629999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15124092-0.15128886) × cos(0.90715969) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615985706188037 × 6371000     		do = 188.137890141889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15124092-0.15128886) × cos(0.90713016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.61600896839339 × 6371000     		du = 188.144995018173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90715969)-sin(0.90713016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615985706188037-0.61600896839339)×R²
    abs(0.15128886-0.15124092)×2.32622053528697e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32622053528697e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32622053528697e-05×40589641000000     		ar = 35396.1088312669m²