Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6869 / 2099
↖ ↑ ↗
← N 78.958769°
W 29.069824°		 ← 467.93 m → N 78.958769°
W 29.047852°		 →
↑
468.01 m
↓
↑
468.01 m
↓
N 78.954560°
W 29.069824°		 ← 468.10 m →
219 037 m²		 N 78.954560°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419281005859375 y=0.128143310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419281005859375 × 214)
    floor (0.419281005859375 × 16384)
    floor (6869.5)     		tx = 6869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128143310546875 × 214)
    floor (0.128143310546875 × 16384)
    floor (2099.5)     		ty = 2099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6869 / 2099 ti = "14/6869/2099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6869/2099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6869 ÷ 214
    6869 ÷ 16384     		x = 0.41925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2099 ÷ 214
    2099 ÷ 16384     		y = 0.12811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12811279296875 × 2 - 1) × π
    0.7437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33663623508002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50736415} λ = -0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33663623508002))-π/2
    2×atan(10.3463751889603)-π/2
    2×1.47444340740095-π/2
    2.9488868148019-1.57079632675     		φ = 1.37809049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37809049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.958769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6869 KachelY 2099 -0.50736415 1.37809049 -29.069824 78.958769
    Oben rechts KachelX + 1 6870 KachelY 2099 -0.50698065 1.37809049 -29.047852 78.958769
    Unten links KachelX 6869 KachelY + 1 2100 -0.50736415 1.37801703 -29.069824 78.954560
    Unten rechts KachelX + 1 6870 KachelY + 1 2100 -0.50698065 1.37801703 -29.047852 78.954560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37809049-1.37801703) × R
    7.34599999998586e-05 × 6371000     		dl = 468.013659999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37809049-1.37801703) × R
    7.34599999998586e-05 × 6371000     		dr = 468.013659999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50736415--0.50698065) × cos(1.37809049) × R
    0.000383499999999981 × 0.191515343556464 × 6371000     		do = 467.925321331599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50736415--0.50698065) × cos(1.37801703) × R
    0.000383499999999981 × 0.191587443267103 × 6371000     		du = 468.10148100446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37809049)-sin(1.37801703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191515343556464-0.191587443267103)×R²
    abs(-0.50698065--0.50736415)×7.20997106393451e-05×R²
    0.000383499999999981×7.20997106393451e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.20997106393451e-05×40589641000000     		ar = 219036.664906395m²