Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68689 / 43290
↖ ↑ ↗
← N 52.008555°
E  8.659973°		 ← 188 m → N 52.008555°
E  8.662720°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
N 52.006865°
E  8.659973°		 ← 188.01 m →
35 347 m²		 N 52.006865°
E  8.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524059295654297 y=0.330280303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524059295654297 × 217)
    floor (0.524059295654297 × 131072)
    floor (68689.5)     		tx = 68689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330280303955078 × 217)
    floor (0.330280303955078 × 131072)
    floor (43290.5)     		ty = 43290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68689 / 43290 ti = "17/68689/43290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68689/43290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68689 ÷ 217
    68689 ÷ 131072     		x = 0.524055480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43290 ÷ 217
    43290 ÷ 131072     		y = 0.330276489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524055480957031 × 2 - 1) × π
    0.0481109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15114504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330276489257812 × 2 - 1) × π
    0.339447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06640426894777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15114504} λ = 0.15114504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06640426894777))-π/2
    2×atan(2.9049154036923)-π/2
    2×1.23925842869366-π/2
    2.47851685738732-1.57079632675     		φ = 0.90772053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15114504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.659973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90772053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.008555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68689 KachelY 43290 0.15114504 0.90772053 8.659973 52.008555
    Oben rechts KachelX + 1 68690 KachelY 43290 0.15119298 0.90772053 8.662720 52.008555
    Unten links KachelX 68689 KachelY + 1 43291 0.15114504 0.90769102 8.659973 52.006865
    Unten rechts KachelX + 1 68690 KachelY + 1 43291 0.15119298 0.90769102 8.662720 52.006865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90772053-0.90769102) × R
    2.95099999999549e-05 × 6371000     		dl = 188.008209999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90772053-0.90769102) × R
    2.95099999999549e-05 × 6371000     		dr = 188.008209999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15114504-0.15119298) × cos(0.90772053) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615543803514134 × 6371000     		do = 188.002921690704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15114504-0.15119298) × cos(0.90769102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615567060156042 × 6371000     		du = 188.010024867769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90772053)-sin(0.90769102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615543803514134-0.615567060156042)×R²
    abs(0.15119298-0.15114504)×2.32566419084979e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32566419084979e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32566419084979e-05×40589641000000     		ar = 35346.7605122057m²