Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68682 / 72665
↖ ↑ ↗
← S 19.210022°
E  8.640747°		 ← 288.36 m → S 19.210022°
E  8.643493°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.212616°
E  8.640747°		 ← 288.35 m →
83 148 m²		 S 19.212616°
E  8.643493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524005889892578 y=0.554393768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524005889892578 × 217)
    floor (0.524005889892578 × 131072)
    floor (68682.5)     		tx = 68682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554393768310547 × 217)
    floor (0.554393768310547 × 131072)
    floor (72665.5)     		ty = 72665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68682 / 72665 ti = "17/68682/72665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68682/72665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68682 ÷ 217
    68682 ÷ 131072     		x = 0.524002075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72665 ÷ 217
    72665 ÷ 131072     		y = 0.554389953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524002075195312 × 2 - 1) × π
    0.048004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15080949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554389953613281 × 2 - 1) × π
    -0.108779907226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.34174215739138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15080949} λ = 0.15080949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34174215739138))-π/2
    2×atan(0.71053138635831)-π/2
    2×0.617759095047995-π/2
    1.23551819009599-1.57079632675     		φ = -0.33527814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15080949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.640747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33527814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.210022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68682 KachelY 72665 0.15080949 -0.33527814 8.640747 -19.210022
    Oben rechts KachelX + 1 68683 KachelY 72665 0.15085742 -0.33527814 8.643493 -19.210022
    Unten links KachelX 68682 KachelY + 1 72666 0.15080949 -0.33532340 8.640747 -19.212616
    Unten rechts KachelX + 1 68683 KachelY + 1 72666 0.15085742 -0.33532340 8.643493 -19.212616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33527814--0.33532340) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33527814--0.33532340) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15080949-0.15085742) × cos(-0.33527814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944318829246245 × 6371000     		do = 288.359114665866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15080949-0.15085742) × cos(-0.33532340) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944303936298175 × 6371000     		du = 288.354566925011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33527814)-sin(-0.33532340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944318829246245-0.944303936298175)×R²
    abs(0.15085742-0.15080949)×1.489294807e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.489294807e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.489294807e-05×40589641000000     		ar = 83148.1160585349m²