Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68680 / 72663
↖ ↑ ↗
← S 19.204835°
E  8.635254°		 ← 288.43 m → S 19.204835°
E  8.638001°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
S 19.207429°
E  8.635254°		 ← 288.42 m →
83 186 m²		 S 19.207429°
E  8.638001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523990631103516 y=0.554378509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523990631103516 × 217)
    floor (0.523990631103516 × 131072)
    floor (68680.5)     		tx = 68680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554378509521484 × 217)
    floor (0.554378509521484 × 131072)
    floor (72663.5)     		ty = 72663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68680 / 72663 ti = "17/68680/72663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68680/72663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68680 ÷ 217
    68680 ÷ 131072     		x = 0.52398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72663 ÷ 217
    72663 ÷ 131072     		y = 0.554374694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52398681640625 × 2 - 1) × π
    0.0479736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15071361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554374694824219 × 2 - 1) × π
    -0.108749389648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.34164628359214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15071361} λ = 0.15071361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34164628359214))-π/2
    2×atan(0.71059951096743)-π/2
    2×0.617804363478917-π/2
    1.23560872695783-1.57079632675     		φ = -0.33518760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15071361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33518760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.204835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68680 KachelY 72663 0.15071361 -0.33518760 8.635254 -19.204835
    Oben rechts KachelX + 1 68681 KachelY 72663 0.15076155 -0.33518760 8.638001 -19.204835
    Unten links KachelX 68680 KachelY + 1 72664 0.15071361 -0.33523287 8.635254 -19.207429
    Unten rechts KachelX + 1 68681 KachelY + 1 72664 0.15076155 -0.33523287 8.638001 -19.207429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33518760--0.33523287) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33518760--0.33523287) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15071361-0.15076155) × cos(-0.33518760) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944348615918062 × 6371000     		do = 288.428374834728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15071361-0.15076155) × cos(-0.33523287) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944333723549799 × 6371000     		du = 288.423826322131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33518760)-sin(-0.33523287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944348615918062-0.944333723549799)×R²
    abs(0.15076155-0.15071361)×1.48923682625757e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48923682625757e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48923682625757e-05×40589641000000     		ar = 83186.4628450536m²