Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68674 / 72814
↖ ↑ ↗
← S 19.596019°
E  8.618774°		 ← 287.74 m → S 19.596019°
E  8.621521°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
S 19.598607°
E  8.618774°		 ← 287.73 m →
82 785 m²		 S 19.598607°
E  8.621521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523944854736328 y=0.555530548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523944854736328 × 217)
    floor (0.523944854736328 × 131072)
    floor (68674.5)     		tx = 68674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555530548095703 × 217)
    floor (0.555530548095703 × 131072)
    floor (72814.5)     		ty = 72814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68674 / 72814 ti = "17/68674/72814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68674/72814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68674 ÷ 217
    68674 ÷ 131072     		x = 0.523941040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72814 ÷ 217
    72814 ÷ 131072     		y = 0.555526733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523941040039062 × 2 - 1) × π
    0.047882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15042599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555526733398438 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.348884755434769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15042599} λ = 0.15042599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348884755434769))-π/2
    2×atan(0.705474427679022)-π/2
    2×0.61439063538834-π/2
    1.22878127077668-1.57079632675     		φ = -0.34201506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15042599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.618774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34201506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.596019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68674 KachelY 72814 0.15042599 -0.34201506 8.618774 -19.596019
    Oben rechts KachelX + 1 68675 KachelY 72814 0.15047393 -0.34201506 8.621521 -19.596019
    Unten links KachelX 68674 KachelY + 1 72815 0.15042599 -0.34206022 8.618774 -19.598607
    Unten rechts KachelX + 1 68675 KachelY + 1 72815 0.15047393 -0.34206022 8.621521 -19.598607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34201506--0.34206022) × R
    4.51600000000441e-05 × 6371000     		dl = 287.714360000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34201506--0.34206022) × R
    4.51600000000441e-05 × 6371000     		dr = 287.714360000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15042599-0.15047393) × cos(-0.34201506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942080755471863 × 6371000     		do = 287.735711879731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15042599-0.15047393) × cos(-0.34206022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942065608473991 × 6371000     		du = 287.731085596697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34201506)-sin(-0.34206022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942080755471863-0.942065608473991)×R²
    abs(0.15047393-0.15042599)×1.51469978717511e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.51469978717511e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.51469978717511e-05×40589641000000     		ar = 82785.0306827352m²