Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68673 / 48335
↖ ↑ ↗
← N 42.652142°
E  8.616028°		 ← 224.63 m → N 42.652142°
E  8.618774°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 42.650122°
E  8.616028°		 ← 224.64 m →
50 463 m²		 N 42.650122°
E  8.618774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523937225341797 y=0.368770599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523937225341797 × 217)
    floor (0.523937225341797 × 131072)
    floor (68673.5)     		tx = 68673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368770599365234 × 217)
    floor (0.368770599365234 × 131072)
    floor (48335.5)     		ty = 48335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68673 / 48335 ti = "17/68673/48335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68673/48335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68673 ÷ 217
    68673 ÷ 131072     		x = 0.523933410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48335 ÷ 217
    48335 ÷ 131072     		y = 0.368766784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523933410644531 × 2 - 1) × π
    0.0478668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15037805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368766784667969 × 2 - 1) × π
    0.262466430664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.824562610364586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15037805} λ = 0.15037805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824562610364586))-π/2
    2×atan(2.28088291257443)-π/2
    2×1.15760831802222-π/2
    2.31521663604443-1.57079632675     		φ = 0.74442031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15037805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.616028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74442031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.652142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68673 KachelY 48335 0.15037805 0.74442031 8.616028 42.652142
    Oben rechts KachelX + 1 68674 KachelY 48335 0.15042599 0.74442031 8.618774 42.652142
    Unten links KachelX 68673 KachelY + 1 48336 0.15037805 0.74438505 8.616028 42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 68674 KachelY + 1 48336 0.15042599 0.74438505 8.618774 42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74442031-0.74438505) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74442031-0.74438505) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15037805-0.15042599) × cos(0.74442031) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735480792328485 × 6371000     		do = 224.634765252697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15037805-0.15042599) × cos(0.74438505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 224.642061812453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74442031)-sin(0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735480792328485-0.7355046821282)×R²
    abs(0.15042599-0.15037805)×2.38897997154597e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38897997154597e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38897997154597e-05×40589641000000     		ar = 50463.1011932105m²