Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68671 / 44479
↖ ↑ ↗
← N 49.952987°
E  8.610535°		 ← 196.52 m → N 49.952987°
E  8.613281°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
N 49.951220°
E  8.610535°		 ← 196.52 m →
38 625 m²		 N 49.951220°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523921966552734 y=0.339351654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523921966552734 × 217)
    floor (0.523921966552734 × 131072)
    floor (68671.5)     		tx = 68671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339351654052734 × 217)
    floor (0.339351654052734 × 131072)
    floor (44479.5)     		ty = 44479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68671 / 44479 ti = "17/68671/44479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68671/44479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68671 ÷ 217
    68671 ÷ 131072     		x = 0.523918151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44479 ÷ 217
    44479 ÷ 131072     		y = 0.339347839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523918151855469 × 2 - 1) × π
    0.0478363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15028218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339347839355469 × 2 - 1) × π
    0.321304321289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.00940729529952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15028218} λ = 0.15028218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00940729529952))-π/2
    2×atan(2.74397416655767)-π/2
    2×1.2213202117511-π/2
    2.44264042350221-1.57079632675     		φ = 0.87184410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15028218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.610535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87184410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.952987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68671 KachelY 44479 0.15028218 0.87184410 8.610535 49.952987
    Oben rechts KachelX + 1 68672 KachelY 44479 0.15033012 0.87184410 8.613281 49.952987
    Unten links KachelX 68671 KachelY + 1 44480 0.15028218 0.87181325 8.610535 49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 68672 KachelY + 1 44480 0.15033012 0.87181325 8.613281 49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87184410-0.87181325) × R
    3.08500000000267e-05 × 6371000     		dl = 196.54535000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87184410-0.87181325) × R
    3.08500000000267e-05 × 6371000     		dr = 196.54535000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15028218-0.15033012) × cos(0.87184410) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643415952614054 × 6371000     		do = 196.515793455051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15028218-0.15033012) × cos(0.87181325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 196.52300635448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87184410)-sin(0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643415952614054-0.643439568499962)×R²
    abs(0.15033012-0.15028218)×2.36158859074909e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36158859074909e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36158859074909e-05×40589641000000     		ar = 38624.9742391774m²