Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68667 / 48342
↖ ↑ ↗
← N 42.638000°
E  8.599548°		 ← 224.69 m → N 42.638000°
E  8.602295°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 42.635979°
E  8.599548°		 ← 224.69 m →
50 475 m²		 N 42.635979°
E  8.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523891448974609 y=0.368824005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523891448974609 × 217)
    floor (0.523891448974609 × 131072)
    floor (68667.5)     		tx = 68667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368824005126953 × 217)
    floor (0.368824005126953 × 131072)
    floor (48342.5)     		ty = 48342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68667 / 48342 ti = "17/68667/48342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68667/48342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68667 ÷ 217
    68667 ÷ 131072     		x = 0.523887634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48342 ÷ 217
    48342 ÷ 131072     		y = 0.368820190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523887634277344 × 2 - 1) × π
    0.0477752685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15009043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368820190429688 × 2 - 1) × π
    0.262359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.824227052067245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15009043} λ = 0.15009043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824227052067245))-π/2
    2×atan(2.28011767178648)-π/2
    2×1.15748490565344-π/2
    2.31496981130689-1.57079632675     		φ = 0.74417348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15009043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.599548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74417348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.638000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68667 KachelY 48342 0.15009043 0.74417348 8.599548 42.638000
    Oben rechts KachelX + 1 68668 KachelY 48342 0.15013837 0.74417348 8.602295 42.638000
    Unten links KachelX 68667 KachelY + 1 48343 0.15009043 0.74413822 8.599548 42.635979
    Unten rechts KachelX + 1 68668 KachelY + 1 48343 0.15013837 0.74413822 8.602295 42.635979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74417348-0.74413822) × R
    3.52600000000924e-05 × 6371000     		dl = 224.641460000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74417348-0.74413822) × R
    3.52600000000924e-05 × 6371000     		dr = 224.641460000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15009043-0.15013837) × cos(0.74417348) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735648008496082 × 6371000     		do = 224.685837374425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15009043-0.15013837) × cos(0.74413822) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735671891893911 × 6371000     		du = 224.69313197888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74417348)-sin(0.74413822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735648008496082-0.735671891893911)×R²
    abs(0.15013837-0.15009043)×2.38833978285502e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38833978285502e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38833978285502e-05×40589641000000     		ar = 50474.573889767m²